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suite by jojodu60
bonjour cet exercice fait parti de mon DM et je ne voit pa du tt comment le résoudre j'ai fait plein de choses mais toute naboutissent pas a la solution
pouvez vous m'aidez pour la premiere question déja! je vous remercie davance
voici l'ennoncer :
u est la suite définie par la donnée de u0 et pour t n de 
, Un+1 = aun + b (avec a
0 et a de 1
v est la suite définie pour n de par Vn= Un - 
avc réel.
1) démontrer qu'il éxiste un réel , et un seul ( à exprimer en fonction de a et b ) tel que la suite V soit géométrique.
2) Exprimer Vn puis Un en fonction de n
3)pour quelles valeurs de a, la suite u est elle convergente ?
Quelle est alors sa limite ?
salut
tu veux que vn soit une suite géométrique
donc vn+1=kvn=k(un-)
mais tu as vn+1=un+1-=aun+b-
tu as donc l'équation
kun-k=aun+b-
donc k=a et -k=b-
donc -a=b-
donc(1-a)=b
=b/(1-a) possible car a1
la forme d'une suite géométrique est comme
Vn+1= q Vn voir ce lien http://homeomath.imingo.net/suitgeo.htm
donc
1) on commence par
on Vn = Un - µ (ici je remplace alpha par µ)
Vn+1 = Un+1 - µ (elle est compatible avec la précedente)
on remplace Un+1 par aUn + b
Vn+1 = (aUn + b) - µ
= aUn + b - µ
puis en remplace Un par Vn + µ
Vn+1 = a(Vn + µ) + b - µ
arronger ca
Vn+1 = aVn + aµ + b - µ
= aVn + b + µ(a - 1)
Vn soit géométrique si >>>>>>>>>> + b + µ(a - 1) = 0
donc
µ = b/1-a
Vn puis Un en fonction de n
Vn en fonction de n
Vn = V0 a**n
V0 = U0 - µ = U0 - b/1-a =
donc Vn = (U0 - b/1-a) a**n
Un en fonction de n
Un = Vn + µ = (U0 - b/1-a) a**n + b/1-a
3)pour quelles valeurs de a, la suite u est elle convergente ?
Quelle est alors sa limite ?
u converge lorsque |a| <1 >>>>>>>>> cad -1<a<1
et comme a diff de 0
donc u converge lorsque lorsque -1<a<1 et a diff de 0
et sa limite est b/1-a
car a**n tend vers 0
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