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Suite constante

Posté par
Albanmaths2
03-09-22 à 11:55

Bonjour, je dois montrer que la suite définie par v0=0,25 et pour tout entier naturel  n, vn+1=5vn-1 est constante.

Si j'avais eu la suite exprimée à partir de vn j'aurais cherché à montrer que vn+1=vn mais dans cet exercice je ne vois pas comment procéder. Merci beaucoup.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 03-09-22 à 12:06

Bonjour

auriez-vous par hasard abordé le raisonnement par récurrence ?

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 03-09-22 à 12:08

Oui je commence seulement.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 03-09-22 à 12:11

oui, me doute

eh bien, je pense que c'est le moment de tenter cette rédaction par récurrence
vas-y, essaie

Posté par
carpediem
re : Suite constante 03-09-22 à 12:40

salut

en reprenant strictement ton écriture :

vn + 1 = 5vn - 1 <=> 4vn = 2 <=> vn = 1/2

donc la suite est constante !!

si tu ne sais pas écrire les indices en indices (ce qui est tout à fait possible avec les outils du site) la moindre des choses est de même les indices entre parenthèses !!

il n'y a pas plus de raisons d'écrire v(n + 1) = 5v(n) - 1 que d'écrire v(n + 1) = 5v(n - 1) auquel cas la suite est géométrique de raison \pm \sqrt 5 et ne sera certainement pas constante ... sauf si v_0 = 0

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 03-09-22 à 14:32

Je vous remercie pour vos réponses, cependant si je procède ainsi je ne crois pas faire un raisonnement par récurrence. Je prends note de vos remarques concernant les parenthèses et y ferai attention à l'avenir.

Posté par
carpediem
re : Suite constante 03-09-22 à 15:04

déjà redonne-nous proprement la relation de récurrence définissant la suite ...

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 03-09-22 à 19:59

Je réécris l'énoncé proprement :

(Vn) est la suite définie par v0=0,25 et pour tout entier naturel n, vn+1=5vn-1.
Démontrer par récurrence que la suite (vn) est constante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 03-09-22 à 20:54

Bonsoir,
Si la suite est bien constante, que vaut v2022 par exemple ?

Posté par
co11
re : Suite constante 03-09-22 à 20:55

Bonsoir, un petit coup de pouce si je peux me permettre .....

Albanmaths2, on te donne u0 et on te demande de montrer que la suite est constante, c'est à dire que : pour tout entier naturel n .......

malou et carpediem, je n'en dis pas trop ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 03-09-22 à 21:06

Bonsoir co11,
Nous nous complétons

Posté par
carpediem
re : Suite constante 03-09-22 à 22:00

alors maintenant que nous avons proprement la suite et pour compléter les msg des collègues quelle serait la proposition à démontrer par récurrence ?

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 04-09-22 à 09:26

On cherche à démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, vn=x avec x un  réel.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 04-09-22 à 09:31

Bonjour,
Tu peux préciser x :

Citation :
on te donne u0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 04-09-22 à 10:22

Si tu ne trouves pas, essaye de voir ce que donnerait l'initialisation.

Posté par
carpediem
re : Suite constante 04-09-22 à 10:49

ou alors calculer quelques premières valeurs de la suite ...

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 04-09-22 à 10:56

je dois montrer que vn=0,25

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 04-09-22 à 10:57

Oui
Le conseil de carpediem t'a enfin débloqué.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 04-09-22 à 10:59

Maintenant que tu sais ce que tu vas démontrer par récurrence, tu peux la démarrer.
Une remarque : 0,25 = 1/4.

Posté par
Bzzoz
re : Suite constante 04-09-22 à 20:11

Bonsoir, j'ai aussi le meme exercice a faire et je n'ai pas bien compris la reponse que vous avez donné à l'utilisateur.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 04-09-22 à 20:15

Bonsoir
Nous attendons que Albanmaths2 poursuive son exercice à son rythme
Tu peux l'aider si tu veux

Posté par
Bzzoz
re : Suite constante 04-09-22 à 20:33

Bonsoir d'accord pas de probleme.
Il y a une autre maniere de montrer qu'une suite est constante:
Si Vn+1 = Vn, alors (Vn) est constante non ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 04-09-22 à 20:37

à condition d'ajouter devant, un pour tout n de N
oui, tu peux faire ça

Posté par
Bzzoz
re : Suite constante 04-09-22 à 20:38

Mais dans ce cas la, c'est de la recurrence ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 04-09-22 à 20:41

pas nécessairement
faut-il encore réussir à obtenir ce genre d'égalité

c'est pas le tout de discuter, faut écrire une démonstration

Posté par
Bzzoz
re : Suite constante 04-09-22 à 20:54

oui c'esst vrai mais comme le chzpitre que je travaille actuellement c'est la recurrence je vais donc essayer pour cette exercice, de faire par recurrence. Si la suite est constante c'est que pour tout entier naturel n,  v0 = v1 = v2 ...etc...

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 04-09-22 à 21:01

tu as des exemples rédigés ici Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Citation :
Si la suite est constante c'est que pour tout entier naturel n, v0 = v1 = v2 ...etc...

bof bof bof c'est pas des maths ça

Posté par
Bzzoz
re : Suite constante 04-09-22 à 21:08

Inisialisation: v0=0,25. 5 \times 0,25 - 1 = 0,25

Mais pour l'etape n°2, je seche. Je ne comprends pas

Posté par
carpediem
re : Suite constante 05-09-22 à 08:43

carpediem @ 03-09-2022 à 22:00

... quelle serait la proposition à démontrer par récurrence ?

Posté par
alfpfeu
re : Suite constante 05-09-22 à 09:37

Bonjour,

Si jamais tu as du mal avec la démonstration par récurrence,
imagine que tu viens d'être embauché pour le travail suivant.

Tu dois peindre tous les arbres le long d'une route et tu disposes de plusieurs couleurs: blanc, rouge et bleu. Tu dois suivre deux instructions.

Instruction 1 : Si jamais un arbre est blanc le suivant doit être peint en blanc.
Instruction 2: Le premier arbre doit être peint en blanc.

A ton avis, de quelle couleur seront tous les arbres?

Vois-tu pourquoi les deux conditions sont importantes?

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 05-09-22 à 19:27

Un autre coup de pouce avec des citations :

carpediem @ 03-09-2022 à 22:00

... quelle serait la proposition à démontrer par récurrence ?
Albanmaths2 @ 04-09-2022 à 10:56

je dois montrer que vn=0,25
En complétant :
Citation :
je dois montrer que pour tout n de vn=0,25

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 06-09-22 à 11:35

Bon, alors on va détailler avec des extraits de Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Citation :
On commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie, notamment le premier rang.
Il est fortement conseillé de toujours noter la propriété à démontrer \mathcal{P}(n),
Commence donc par préciser la propriété P(n). Et aussi le premier rang, c'est à dire la plus valeur de n.

Citation :
1-On vérifie l'initialisation, c'est-à-dire que la propriété est vraie au premier rang (qui est souvent 0 ou 1).
Vérifier la propriété pour le premier rang suffit.

Citation :
2-On prouve le caractère héréditaire de la propriété, on suppose que la propriété est vraie pour un entier k fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang k+1.
Ici, on utilise toujours la propriété pour k pour montrer qu'elle est vraie aussi pour k+1
Il est conseillé de mettre dans un coin le résultat au rang k+1 à démontrer pour éviter des calculs fastidieux inutiles.
Si ton prof utilise la lettre n dans cette partie, fais comme lui.
Pense à écrire la propriété P(k+1) ou P(n+1) dans un coin.

Vas-y, lance toi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 06-09-22 à 12:29

Commence donc par préciser la propriété P(n). Et aussi le premier rang, c'est à dire la plus petite valeur de n.

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 07-09-22 à 17:01

Bonjour j'ai essayé ce raisonnement :

Soit P(n)  : Vn=1/4

Initialisation : pour n=0, V1=5*V0-1=5*0,25-1=1/4 donc pour n=0, la propriété P(n) est vérifiée

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour tout n, alors la propriété doit être vérifiée au rang n+1 soit :

P(n+1) : V(n+1)= 5Vn-1=5*1/4-1=1/4

Conclusion : la propriété est vérifiée au rang n+1, donc la propriété est vraie et la suite Vn est constante.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 07-09-22 à 17:09

Albanmaths2 @ 07-09-2022 à 17:01

Bonjour j'ai essayé ce raisonnement :

Soit P(n) la propriété : "Vn=1/4" à démontrer

Initialisation : pour n=0, V1=5*V0-1=5*0,25-1=1/4 donc pour n=0, la propriété P(0) est vérifiée (edit > passage à revoir histoire entre rang 0 et rang 1)

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour tout une valeur de n, alors la propriété doit être vérifiée au rang n+1 soit :

P(n+1) : V(n+1)= 5Vn-1=5*1/4-1=1/4

Conclusion :
La propriété est vraie au rang 0
Si la propriété est vraie au rang n alors la propriété est vérifiée au rang n+1,
donc de proche en proche, la propriété est toujours vraie

On a donc démontré que : pour tout n de N, vn=1/4


ça doit ressembler à peu près à ça
mais cette fois ci tu y es !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 07-09-22 à 17:12

OK pour "Soit P(n) : Vn=1/4".
Comment s'écrit P(0) ?
Comment s'écrit P(n+1) ?

Pour l'hérédité :
Tu ne supposes pas la propriété vraie pour tout n.
Sinon, on s'arrête tout de suite, car ce sera la conclusion finale.
Tu supposes la propriété vraie pour un certain n de .
Tu chercheras à démontrer P(n+1) en utilisant P(n).

Posté par
carpediem
re : Suite constante 07-09-22 à 17:12

Albanmaths2 @ 07-09-2022 à 17:01

Bonjour j'ai essayé ce raisonnement :

Soit P(n)  : Vn=1/4

Initialisation : pour n=0, V1=5*V0-1=5*0,25-1=1/4 donc pour n=0, la propriété P(n) est vérifiée  ben on on écrit simplement P(0) ... sauf que tu n'as pas montré (que) P(0) (est vraie) mais ... ??

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour tout n,  certainement pas puisque c'est le but de l'exercice donc si on suppose que c'est vrai pour tout n on ne va pas perdre son temps à le montrer ...

alors la propriété doit être vérifiée au rang n+1 soit :

P(n+1) : V(n+1)= 5Vn-1=5*1/4-1=1/4

Conclusion : la propriété est vérifiée au rang n+1, donc la propriété est vraie et la suite Vn est constante.

et la conclusion est mal rédigée :

pour conclure il faut vérifier deux choses :
la propriété est vraie au rang initial
la propriété est héréditaire

et alors seulement on peut conclure convenablement

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 07-09-22 à 17:14

bon...joli téléscopage

je vous laisse

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite constante 07-09-22 à 17:15

Bonjour malou
Oui, Albanmaths2 est sur la bonne voie.

Posté par
Albanmaths2
re : Suite constante 07-09-22 à 17:50

Très bien je vous remercie tous, j'ai repris la rédaction au propre en notant bien toutes vos remarques. Bonne fin de journée.

Posté par
malou Webmaster
re : Suite constante 07-09-22 à 17:56

je partage tes remerciements avec tous les participants !

Posté par
carpediem
re : Suite constante 07-09-22 à 18:14

de rien ... même si j'aurai été curieux de voir cette rédaction finale au vu de mes dernières remarques ... et ce d'autant plus que dans le forum lycée les trois premiers fils sont à ton nom ...

il n'est pas possible de travailler trois exo en même temps en particulier quand on commence une nouvelle leçon pour laquelle on a besoin de concentration et d'attention ...

Posté par
co11
re : Suite constante 08-09-22 à 17:31

Citation :
de rien ... même si j'aurai été curieux de voir cette rédaction finale au vu de mes dernières remarques ... et ce d'autant plus que dans le forum lycée les trois premiers fils sont à ton nom ...

D'accord avec toi carpediem
  



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