Bonjour tout le monde  !!
alors voilà l'énoncé :
On considère la suite u définie par Uo= 1 et la relation de récurrence Un+1 = 1/4 Un +3.
Sur la figure, on a représenté les droites D et delta d'équations respectives : y = 1/4 x + 3 et y = x ainsi que les premiers termes de la suite u.

1.Etudier le sens de variation de la suite u (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence ).

2. On introduit la suite v définie sur N par Vn = Un -4
a. Montrer que v est une suite géométrique convergente.
b. En détruire le comportement asympototique de la suite u.
c Déterminer le plus petit entier naturel n tel que la valeur absolu de Un - 4 inférieur ou égal a 10 exposant -4

4. On pose, pour n appartenant a N Sn = Uo + U1 + ... + Un
Exprimer Sn en fonction de n . La suite (Sn) converge-t-elle ? Et la suite (Sn/n) avec n appartenant a N privé de 0.

merci de vos réponses

voilà ce que moi j'ai fait :
Le graphique suggère que le sens de variation est : [0;4] c'est croissant et converge vers 4 (point d'intersection de D et delta).

1)

Soit Un+1 = ¼ Un + 3, et Uo = 1.
¼ Un + 3 est de la forme f(Un) ou f(x) = ¼ x + 3
Donc la suite U est de la forme Un+1 = f(Un)
Si une cette suite converge vers un nombre  « l », ce nombre « l » est solution de l'équation f(x) = x.
Ce qui donne ¼ x + 3 = x

¼ x +3 - x = 0
¼ x - x      = -3
x - 4x        = - 12
-3x            = -12
3x             = 12
x               = 12/3
x                = 4

Cela confirme bien ce que le graphique suggère


2 a.

On a : Vn = Un + 4

Donc : Vn+1 = Un+1 - 4

Or : Un+1 = 1/4Un + 3

Et : Un = Vn + 4

Donc : Un+1 = ¼ (Vn + 4) + 3
                    = ¼ Vn +1 + 3
                    = ¼ Vn + 4

Donc : Vn+1 = ¼ Vn + 4 - 4
                      = ¼ Vn

Théorème : Une suite V est géométrique, si et seulement si, quelque soit n il existe un nombre q tel que Vn+1 = q x Vn. (q étant la raison de la suite V).

Donc V est une suite géométrique de raison ¼.