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Suite convergente

Posté par
Nijiro
28-11-20 à 20:45

Bonsoir,

Soit (un) la suite numérique définie par:
\begin{cases} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{(u_n)^2+\frac{1}{(n+1)^2}} \end{cases} (n)

1. Montrer que pour tout n: un>0 (fait)
2. Montrer que la suite (un) est croissante. (fait)
3. On pose pour tout n*: v_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}}
    a. Montrer que : (n*) v_n\leq 2-\frac{1}{n} (fait)
    b. Montrer que :  (n*) u_n=\sqrt{1+v_n} (fait)
    c. En déduire que pour tout n : u_n\leq \sqrt{3} et que (un) est convergente. (fait)

4. a. Montrer que pour tout entier k3: 2^{k+1}\geq (k+1)^2. (fait)
    b. En déduire que: (k3), (u_{k+1})^2-(u_k)^2\geq \frac{1}{2^{k+1}}. (fait)
    c. En déduire que la limite l de la suite (un) vérifie les inégalités:
\sqrt{\frac{179}{72}}\leq l\leq \sqrt{3} (Je ne sais pas comment déduire de 4.b que \sqrt{\frac{179}{72}}\leq l .

Merci d'avance.

Posté par
Maru0
re : Suite convergente 28-11-20 à 21:01

Bonsoir,

La suite (u_n) est croissante, donc il suffit de montrer qu'il existe un certain n tel que u_n \geq \sqrt{\frac{179}{72}}
Donc tu peux calculer quelques valeurs et voir que ça marche.

Posté par
kenavo27
re : Suite convergente 28-11-20 à 21:03

Bonsoir
Utilise ta machine

Posté par
kenavo27
re : Suite convergente 28-11-20 à 21:03

Bonsoir
Utilise ta machine

Posté par
Nijiro
re : Suite convergente 28-11-20 à 22:12

kenavo27 @ 28-11-2020 à 21:03

Bonsoir
Utilise ta machine

Quelle machine??

Posté par
Nijiro
re : Suite convergente 28-11-20 à 22:13

Maru0 @ 28-11-2020 à 21:01

Bonsoir,

La suite (u_n) est croissante, donc il suffit de montrer qu'il existe un certain n tel que u_n \geq \sqrt{\frac{179}{72}}
Donc tu peux calculer quelques valeurs et voir que ça marche.


Bonsoir,
Mais c'est une déduction de 4.b...

Posté par
Nijiro
re : Suite convergente 28-11-20 à 22:13

à partir de 4.b plutôt  

Posté par
Maru0
re : Suite convergente 28-11-20 à 22:28

Ok, si tu préfères.
Somme ta relation 4.b de k=3 à +\infty
Tu obtiendras l'inégalité demandée

Posté par
Nijiro
re : Suite convergente 29-11-20 à 11:59

Oui, ça marche ^^. Merci beaucoup Maru0!! ^_^



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