bonjour

pour la 1) je ne sais pas lire latex

pour la 2 : négatif ou nul (nul pour x=1)

Philoux

1) Pour tout entier naturel n, on a +ln=n

Démontrer que la suite () est strictement croissante.

Comment tu montres que c'est négatif ou nul pour x=1 Philoux ?

Bonjour MisterMask,

Bien souvent lorsqu'on n'est pas en mesure de trouver le signe d'une expression directement, une étude de fonction règle le probléme

Posons pour tout x€]0;+oo[ , f(x) = -x + ln(x) + 1.

f est dérivable sur ]0;+oo[ et, pour tout x dans cet intervalle on a :
f'(x) = -1 + 1/x =  (1-x)/x

Sur ]0;+oo[ , f'(x) est du signe de 1-x (le dénominateur étant strictement positif).

On en déduit que :
f est croissante sur ]0;1]
f est décroissante sur [1;+oo[

Ensuite, le mieux est de tracer le tableau de variation de la fonction. On remarque que f(1) = 0 et que finalement, la fonction est négative ou nulle sur ]0;+oo[.

Il faut par la suite le rédiger, en utilisant les variations de la fonction f :

Si 0< x <= 1 alors f(x)<=f(1) (car f est croissante sur ]0,1]) , soit f(x) <= 0
Si x >= 1 alors f(x) <= f(1) (car f est décroissante sur [1;+oo[) et f(x) <= 0

Donc, pour tout x€]0;+oo[ , f(x)<=0.

On pourrai montrer que pour tout x€]0;+oo[, f(x)=0 <=> x = 1 (ce qui n'a pas été fait), cela ferait intervenir la stricte monotonie de f cette fois, mais ce n'est pas vraiment utile, c'est même évident

Nil.

Je te remercie beaucoup Nil d'avoir voulu bien m'expliquer, mais le problème, c'est quand fait, -x + ln(x) + 1 est la dérivée que je trouve pour une autre fonction, donc on ne peut pas redériver.

Si on peut deriver la dérivée d'une dérivée. Il s 'agit de la dérivée seconde.

Rebonjour MisterMask,

Eh bien ou est le probleme ?
Ce n'est pas parce que ta fonction a été obtenue par dérivation, que tu ne peux pas encore la dériver En l'occurence l'expression assure qu'elle est parfaitement dérivable sur ]0;+oo[.

Je peux comprendre qu'il n'est pas tres naturel a priori de dériver la dérivée, mais pour l'étude du signe de celle ci, il nous était indispensable de connaitre ses variations.

Nil.