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Suite dans un carré.

Posté par Saverok (invité) 04-09-04 à 17:56

Voilà j'ai un problème pour un exrecice.
ABCD est un carré de côté c0=4cm, on construit le carré A1,B1,C1,D1 en relinat le milieu de ses côtés.On désigne par An l'aire du carré An,Bn,Cn,Dn.

Quelle est la nature de la suite An avec n appartient à N?
Exprimer Cn puis An en fonction de n.
Vérifier que An=(1/2)exposant(n-4). La suite ets -elle convergente?
Calculer la longueur totale de tous les segments de la figure lorsqu'on arrête la construction au carré An,Bn,Cn,Dn.

Je bloque vraiment sur ec problème (j'ai enlevé les questions que j'ai réussi à faire).

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Suite dans un carré. 04-09-04 à 18:35

C(n+1) = (1/2).C(n)
-> Cn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme C(0) = 4

C(n) = 4.(1/2)^n
-----
A(n) = (C(n))²
A(n+1) = (C(n+1))²
A(n+1) = ((1/2).C(n))²
A(n+1) = (1/4).(C(n))²
A(n+1) = (1/4).A(n)

-> An est une suite géométrique de raison 1/4 et de premier terme A(0) = 4² = 16

A(n) = 16.(1/4)^n
A(n) = 2^4.(1/2)^(2n)
A(n) = (1/2)^(2n-4)
Ce qui est différent de ce que tu as écrit.
-----
lim(n->oo) A(n) = 0
-> An est convergente.
-----
Pas clair pour la longueur totale, on peut comprendre de plusieurs façons.
-----
Sauf distraction. Vérifie.  


Posté par
Belge-FDLE
re : Suite dans un carré. 04-09-04 à 19:28


Salut à tous ,

Je suis tout à fait d'accord avec les résultats de J-P :clapcla: .

Pour la dernière question, je vais la faire en considérant que l'on conte la longueur totale de tous les segments des carrés (et pas des segments de constructions, en reliant les milieux par exemple).


Soit U_n la suite qui, à chaque n, associe la longueur des 4 côtés du carré A_nB_nC_nD_n. On a :

\rm~U_n~=~4\times~C_n
\rm~U_n~=~4\times~\big[4\times(\frac{1}{2})^n\big]
\rm~U_n~=~16\times(\frac{1}{2})^n


U_n est donc une suite géométrique de raison \frac{1}{2}, et de premier terme u_0=16. Il ne reste plus qu'à appliquer la formule de l'addition de n termes d'une suite géométrique pour se rendre compte que la somme des segments de la totalité de n carrés réalisés sur la figure est égale à :

\rm~S_n~=~u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

\rm~S_n~=~16\times\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}

\rm~S_n~=~-\frac{16-(\frac{1}{2})^{n-3}}{\frac{1}{2}}

\rm~S_n~=~(16-(\frac{1}{2})^{n-3})\times2

\rm~S_n~=~32-(\frac{1}{2})^{n-4}


Remarque : Même si ce n'était pas demandé, je trouve intéressant de remarquer que cette somme des segments de la totalité de n carrés converge vers 32. Ce qui veut dire que l'en construisant, cette figure, on peut faire autant de carré que l'on veut, jamais on atteinda une longueur totale des segments égale à 32 cm .

Voilà, j'espère avoir pu t'aider .
Si tu as la moindre question, surtout n'hésite pas .

À +

Posté par Saverok (invité)re : Suite dans un carré. 04-09-04 à 20:50

Heu pour la première question ej n'ai pas trouvé pareil, je veins de réussir un truk et je pense avori juste.
En effet, sur la figure, le carré suivant se met à l'interieur du précédent (visible comme l'on représente les losanges). Donc le coté obtenu ne fais pas 1/2 fosi le précédent, mais Racine de 2 fois la moitié de coté (Diagonale d'un carré).
A voter avis ai-je raison (je sais que cets difficile sans voir la figure).

De plus pour la suite A, j'ai trouvé une suite géométrique de raison 1/2.

Ensuite pour exprimer en fonction de n, j'ai utilisé la proproété:
Cn=Co*q^n

Posté par
Belge-FDLE
re : Suite dans un carré. 04-09-04 à 21:16

Oupsss, dsl j'avais pas compris l'exo comme ça .
Je pensais que l'on reliait les milieux de 2 côtés opposés pour obtenir un quadillage de 4 carré dans le carré (n), et que l'un de ces 4 carré était le carré (n+1).

Maintenant que j'ai compris, je suis d'accord avec ton premier résultat. En effet, la longueur du cote obtenu est égale à ('c' est la longueur du coté précédent) :

\rm~\sqrt{(\frac{1}{2}c)^2\times2}~=~\sqrt{\frac{1}{4}c^2\times2}~=~\sqrt{\frac{1}{2}c^2}~=~\frac{\sqrt{2}}{2}c

Pour le reste, j'y re-réfléchit .

À +

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Suite dans un carré. 05-09-04 à 09:01

Comme quoi, les dessins seraient utiles pour éviter les méprises.



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