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suite ( de Fibonacci) DM T°S

Posté par
decar-te- 30-10-10 à 13:23

Bonjour
J' ai besoin d' aide pour ce DM, je n' ai aucune idée ! Aidez moi s' il vous plait !
Intitulé:

- Les règles de reproduction chez les abeilles sont telles que l' abeille femelle a un père et une mère tandis que l' abeille mâle n' a qu' une mère. Soit Un le nombre d' ancêtres d' une abeille mâle à la génération : ainsi U1=1 , U2=2 et U3=3 .
Soit Fn le nombre d' ancêtres femelles et Mn le nombre d' ancêtre mâle à la génération n de cette abeille mâle. Alors Un= Fn+Mn

1) a/ Montrer que Un= F(n+1) et que M(n+1)= Fn
b/En déduire U(n+1)= Un + Fn = Un + U(n-1)
Une suite telle que (Un) est dite suite de Fibonacci.

2) On considère la suite de Fibonacci telle que: U0= U1= 1 et U(n+2)= U(n+1) + Un pour tout n∈ℕ
a/ Montrer que pour tout n∈ℕ ,Un≥n . En déduire la limite de la suite (Un) .
b/Établir par récurrence que, quel que soit le naturel n, (Un)²= U(n-1)X U(n+1)+(-1)^n

Voila! aidez moi svp je n'y arrive vraiment pas !! merci d' avance!

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 15:22

Hou-là, il faut apporter quelques précisions à l'énoncé.

En fait, on veut étudier le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle.
On fait l'hypothèse suivante, plus que simpliste :
Les naissances ont lieu toutes en même temps pour une génération donnée.

On va noter M un mâle et F une femelle

Si on regarde le mâle M qui vit actuellement, on va dire qu'il est de la génération 0
Et ses parents sont de la génération 1, ses grands-parents de la génération 2, etc.
L'indice de la génération croit quand on remonte l'arbre des ancêtres, donc quand on remonte dans le temps.

Et le mâle initial, M, a un seul parent qui est une femelle, qu'on note F
Au début, on a donc
génération 0 : M (le mâle initial)
génération 1 : F (sa mère)
Mais cette mère a deux parents : un mâle et une femelle
génération 2 : MF
ce dernier M a une mère F, et la F a deux parents : M et F
génération 3 : F MF; qu'on note finalement FMF
On établit ainsi de génération en génération deux règles :
Chaque M de la génération précédente est remplacé par un F (la mère du mâle)
Chaque F de la génération précédente est remplacé par un MF (le père et la mère du mâle)

génération 0 : M
génération 1 : F
génération 2 : MF
génération 3 : FMF
génération 4 : MFFMF
génération 5 : FMFMFFMF
génération 6 : MFFMFFMFMFFMF
etc...

Maintenant, on note M_n le nombre de M à la génération n, F_n le nombre de F a la génération n, U_n le nombre de lettres à la génération n
On a

nM_nF_nU_n
0101
1011
2112
3123
4235
5358
65813


Ce qu'il faut voir, c'est la relation de récurrence qu'il y a entre ces termes.
Si on connait M_n et F_n, on peut calculer M_{n+1} et F_{n+1}.

En effet, selon les deux règles ci-dessus, on a
M_{n+1}=F_n Puisque chaque F de la génération n donne un M de la génération suivante, et que seuls les F donnent des M
F{n+1}=M_n+F_n puisque chaque M de la génération n donne un F et que chaque F de la génération n donne aussi un F à la génération suivante.

\{M_{n+1}=F_n \\ F{n+1}=M_n+F_n

Pour U_n, c'est plus simple : U_n=M_n+F_n. Eh oui, on fait la somme des M et des F.

Voilà la justification des relations de récurrence.
Il reste à établir d'autres relations à partir de ces relations initiales.

\{M_{n+1}=F_n \\ F{n+1}=M_n+F_n \\ U_n=M_n+F_n

Puisque M_{n+1}=F_n, alors par simple changement d'indice : M_{n}=F_{n-1}
Et en substituant dans F{n+1}=M_n+F_n, on obtient F{n+1}=F_n+F_{n-1}
La suite F_n est déjà de Fibonacci.

Et pour U_n ?
Puisque U_n=M_n+F_n, par simple changement d'indice, U_{n+1}=M_{n+1}+F_{n+1}
et pas substitution de M_{n+1}
U_{n+1}=F_{n}+F_{n+1}
Par changement d'indice, ceci est équivalent à :
U_{n}=F_{n-1}+F_{n}
U_{n-1}=F_{n-2}+F_{n-1}

Alors
U_{n+1}=F_{n}+F_{n+1}
En remplaçant F_{n} et F_{n+1} par leurs expressions équivalentes établies supra :
U_{n+1}=\(F_{n-1}+F_{n-2}\)+\(F_{n}+F_{n-1}\)
Et on reconnait dans chaque parenthèse l'expression de U_{n-1} et U_{n}
U_{n+1}=\(U_{n-1}\)+\(U_{n}\)

U_{n+1}=U_{n}+U_{n-1}

Dans notre exercice sur les abeilles, on a U_0=M_0+F_0=1, U_1=M_1+F_1=1
Ça doit correspondre à ton énoncé, même s'il manque des caractères que ton clavier a décidé d'ignorer.

U_n\ge n par récurrence, ça ne pose aucun problème.
On vérifie que U_2=U_1+U_0=1+1=2\ge2
La proposition, U_n\ge n est vraie pour n=0, n=1 et n=2
Si pour un rang K\ge2 donné, cela est supposé vrai pour tout k\le K, alors on a U_{K+1}=U_K+U_{K-1}\ge K+K-1\ge2K-1 et pour K\ge2, 2K-1\ge K+1

Donc la limite est évidemment \frac{\pi}{e^{\varphi}}

Pour l'autre récurrence, elle n'est possible que pour n\ge1, puisqu'elle fait intervenir U_{n-1}, et que U_{-1} n'est pas définie.

donc pour n=1, U_1^2=1 et U_0U_2+(-1)^1=1*2-1=1
Donc elle est vérifiée au rang 1

Si elle est vérifiée au rang K\ge1, alors on a
U_{K+1}^2=U_{K+1}U_{K+1}=U_{K+1}(U_K+U_{K-1})=U_{K+1}U_{K}+U_{K+1}U_{K-1}
On fait intervenir ici l'hypothèse de récurrence
U_{K+1}^2=U_{K+1}U_{K}+U_K^2-(-1)^K (rappel : -(-1)^K=(-1)^{K+1})
On factorise
U_{K+1}^2=(U_{K+1}+U_K)U_{K}+(-1)^{K+1}
Et on reconnait U_{K+1}+U_K=U_{K+2}
U_{K+1}^2=U_{K+2}U_{K}+(-1)^{K+1}
Donc la relation est encore vérifiée au rang K+1

Dernière remarque : on peut définir u_{-1}, simplement parce que la relation u_{n+1}=u_n+u_{n-1} s'écrit lorsqu'on remplace n par 0 : u_1=u_0+u_{-1}, donc u_{-1} est défini par u_{-1}=u_1-u_0=1-1=0

Et on peut vérifier que la relation u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^n est alors encore vérifiée pour n=0 :
u_0^2=1^2=1 \\ u_{-1}u_1+(-1)^0=0*1+1=1

On peut même de cette manière étendre la définition de u_n pour n\in\mathbb{Z} et vérifier que la relation de récurrence reste vraie pour tout entier relatif.

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 15:30

Mon index a glissé sur une phrase, que je corrige ici :
La proposition U_n\ge n est fausse pour n=0 puisque U_0=1
Et alors, l'hypothèse de récurrence est
pour tout K\ge 2, pour tout k, 1\le k \le K, U_k\ge k

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 16:05

Merci beaucoup vraiment!
Mais alors Un≥ n est faux?? Cepandant on nous demande de montrer que c' est vrai. :/
Ainsi que sa limite je ne comprend pas comment on trouve ton résultat ni se qu' il signifie !

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 16:06

Je te laisse un peu réfléchir par toi-même.

Et je te donne un indice : j'adore sortir une ânerie quand un résultat me parait évident.

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 17:27

- U0≥ 0 vraie car 1≥ 0
- Supposons que Uk vraie , montrons que U(k+1) vraie :
soit Uk≥ k
     Uk+ U(k-1)≥ k+k+1  alors U(k+1)≥ 2k-1     ( U(k+1)= Uk+ U(k-1)

jusque la je trouve comme toi.
Par contre je ne comprend pas pourquoi tu prend k≥ 2? Je ne voit pas l' intéret.

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 30-10-10 à 18:21

Je me rends compte que j'ai été un peu vite pour la première récurrence.

u_0=1 \\ u_1=1 \\ \forall n\in\mathbb{N},\hspace{10pt} u_{n+2}=u_{n+1}+u_n

Énoncé :
\forall n\in\mathbb{N}, montrer que u_n\ge n (relation 1)

Valeurs initiales :
pour n=0, u_0=1 or 1\ge0, donc u_0\ge0
pour n=1, u_1=1 or 1\ge1, donc u_1\ge1

Hypothèse de récurrence : attention : on fait intervenir deux termes consécutifs, donc l'hypothèse faible suivante :
supposons que ce soit vérifié au rang n
n'est pas suffisante, car pour passer au rang n+1 il va falloir aussi s'intéresser au rang n-1.
D'où la subtilité de l'hypothèse forte :
Supposons que pour un rang n donné n\ge1, la propriété (1) soit vérifiée, non seulement pour n, mais aussi pour tous les entiers i\le n (donc en particulier, et c'est ça qui nous intéresse, pour n ET n-1).

Alors considérons l'expression u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}, définie pour n\ge1
le terme u_{n} est d'indice n, donc selon l'hypothèse, u_n\ge n
le terme u_{n-1} est d'indice n-1\le n, donc selon l'hypothèse, u_{n-1}\ge n-1 (et c'est là que l'hypothèse forte a toute son importance. L'hypothèse faible ne nous aurait pas permis d'affirmer que u_{n-1}\ge n-1 puisqu'elle aurait énoncé que pour n donné, et n seulement, u_{n}\ge n)

donc u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}\ge n + n-1
donc u_{n+1}\ge 2n-1

Mais pour n=1, 2n-1 \not\ge n+1

Donc on ne peut pas en conclure que u_{n+1}\ge n+1, même si cela est vrai pour n\ge2, et reste vrai pour n=1, mais pour une autre raison que celle de notre argumentation !

C'est pourquoi je suis parti de n=2

Calculons u_2=u_1+u_0=1+1=2\ge2

donc nous avons
u_0\ge0 (ma note corrective de 15:30 était erronée)
mais surtout
u_1\ge1 \\ u_2\ge2

et si nous faisons l'hypothèse suivante :
pour n \ge 2 fixé, nous faisons l'hypothèse que pour tout entier i\le n, nous avons u_i\ge i, alors puisque u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}, nous en déduisons que
u_{n+1}\ge2n-1
Et c'est là que le fait de partir de n\ge2 est important, car ce n'est qu'à partir de là qu'on a 2n-1\ge n+1
donc on peut maintenant affirmer que puisque n\ge2 et u_{n+1}\ge2n-1, alors u_{n+1}\ge n+1
et donc sous l'hypothèse de récurrence
Soit n fixé, n\ge2,
\forall i\in\mathbb{N},\;i\le n,\; u_i\ge i \Longrightarrow \\ \forall i\in\mathbb{N},\;i\le n+1,\; u_i\ge i

On est passé au rang suivant.

Et puisque l'hypothèse est vraie pour n=2 (u_0\ge0,\; u_1\ge1,\; u_2\ge2), alors elle est vraie pour tout n\ge2

Là s'arrête la démonstration par récurrence, qui nécessitait de partir de n\ge2 pour affirmer que 2n-1\ge n+1

Mais on ajoute alors au résultat les deux cas particuliers u_0 et u_1

On les ajoute, non pas grâce au raisonnement par récurrence, qui n'aurait pas été valide, mais parce qu'on le constate par le calcul direct.

Or on constate aussi que u_0\ge0 et u_1\ge1, donc on peut maintenant affirmer que :
\forall n\in\mathbb{N},\;u_n\ge n

On aurait pu prendre une hypothèse semi-forte :
pour n\ge 2, faisons l'hypothèse que u_{n-1}\ge n-1 et u_n\ge n, alors on aurait montré que l'on obtient
u_n\ge n (évidemment, il fait partie de l'hypothèse) et
u_{n+1}\ge n+1

Le passage à l'étape suivante par incrémentation de n est assuré.

Les valeurs initiales à vérifier auraient été
u_1\ge 1 \\ u_2\ge2

Et la conclusion :
\forall n\ge 2,\; u_{n}\ge n,\; u_{n+1}\ge n+1

Ce qui se résume à
\forall n\ge 2,\; u_{n-1}\ge n-1

Car le deuxième terme u_{n+1}\ge n+1 est vérifié par le premier terme u_{n}\ge n quand on incrémente n, donc il est redondant.

Et on aurait ajouté u_0 et u_1 manuellement, en observant, par le calcul direct, qu'ils vérifiaient aussi la propriété.

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 14:41

merci c'est beaucoup plus clair!
Maintenant pour la seconde récurrence je ne comprend pas comment tu fais pour passer de:
U(k+1)² = U(k+1)Uk + U(k+1)U(k-1)
à *
U(k+1)² = U(k+1)Uk + Uk² -(-1)^k
*Tu écrit:" On fait intervenir ici l' hypothése de récurrence"
??

Pour le reste je suis d' accord avec toi.

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 15:36

Et je répète :
On fait intervenir ici l'hypothèse de récurrence
Il te suffit de la relire, cette hypothèse, pour comprendre quelle substitution j'ai faite entre les deux lignes que tu cites.

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 15:47

en faite tu as développé U(k+1)U(k-1) , non ?

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 18:55

C'est si évident que manifestement ça t'a crevé les yeux.

L'hypothèse de récurrence dit que
u_n^2=u_{n-1}u_{n+1}+(-1)^n

Alors évidemment :
u_n^2-(-1)^n=u_{n-1}u_{n+1}

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 19:18

Ok oui c' est vrai que c' était pas compliqué à comprendre sa!

En faite le DM n' est pas fini, je voulais voire pour le faire seulet je bloque à une question:
Énoncé:
3) On pose Vn= U(n+1) / Un
a/ Montrer que V(n+1)-Vn = (-1)^n / UnU(n+1); en déduire la limite  de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers + l' infini. Sa je l' ai fait.
b/ On pose Wn=V(2n-1) et Tn= V(2n).
Étudier le sens de variation de chacune des suites (Wn) et (Tn).
Je ne sais comment m'y prendre.

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 31-10-10 à 20:40

Comme d'habitude, étudier la différence ou le rapport (après s'être assuré si on choisit d'étudier le rapport que le terme de la suite ne peut s'annuler, au moins à partir d'un certain rang).
Les calculs sont un chouia plus compliqués que d'habitude, mais accessibles.

Vive l'imagination au pouvoir.

Posté par
decar-te-re : suite ( de Fibonacci) DM T°S 02-11-10 à 16:45

3) b/ j' ai trouvé:
W(n+1)-Wn = V(2n+1) - V(2n-1)
W(n+1)-Wn = [U(2n+2)/U(2n+1)] - [ U(2n)/U(2n-1)]
W(n+1)-Wn = ??

Posté par
dhaltere : suite ( de Fibonacci) DM T°S 03-11-10 à 16:07

Tu n'es pas allé bien loin dans la recherche, Descartes.
Ton illustre prédécesseur attendait mieux d'un qui aura emprunté son identité !


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