Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suite de Fibonacci et nombre d'or
Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
Le nombre φ = ( 1 + racine de 5 ) / 2 s'appelle le nombre d'or.
On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un = 1/ racine de 5 ( φ^n+1 - ( -1 / φ) ^n+1 )
1.a calculer les termes U0 et U1.
b. A l'aide de la calculatrice, afficher les 10 premiers termes de cette suite. Que remarque-t-on sur le type des nombres obtenus ?
c. Conjecturer une relation entre Un , U(n+1) , U(n+2)
2. La suite de Fibonacci est la suite (Fn ), définie par F0 = F1 = 1 et, pour tout entier naturel n, Fn = Un.
Calculer lim ( lorsque n tend vers + infinie ) F(n+1) / Fn
Du coup pour la q 1 j'ai trouvé U0 = 1 U1 = 1
b. 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 12, 21, 34, 55
Chaque terme à partir du 3 e est la somme des deux précédents. ( Je ne vois pas trop ils entendent quoi par " type des nombres "
c. U(n+2 ) = Un + U(n+1) à partir du rang 2.
Pour la q2 je ne vois pas comment calculer la limite.
Merci par avance à tous ceux qui m'aideront !
Bonjour,
Tu as Un+2= Un+1 + Un
Divise tout par Un+1
Appelle x la limite de Un+1/Un qui est aussi la limite de Un+2/Un+1
Tu obtiendras une équation du second degré en x à résoudre.
Bonjour,
pour le "type" des nombres : ce sont des nombres entiers
ce qui est surprenant avec des racines de 5 partout dans le calcul !
c'est cela qu'on te demande de remarquer.
c) à partir de n = 0 d'ailleurs
(U0+2 = U2 = U0 + U0+1 = U0 + U1
ou alors il faudrait dire Un = Un-1+Un-2 à partir de n = 2
limites :
pour l'instant la suite de Fibonacci n'est pas definie par Fn = Fn-1 + Fn-2 (ou avec des indices décalés) mais par Fn = Un qui est définie par des puissances de trucs en racine de 5 et rien d'utre !!
c'est ça qu'il faut utiliser pour la limite
("la somme des deux termes précédents n'est dans cet énoncé que une conjecture, pas du tout prouvée à ce stade, donc on n'a pas le droit de l'utillser)
Est ce que je dois faire la limite de Un+1 du coup ça nous donne + infinie je crois car ( -1 / nombre d'or)^n+1 n'a pas de limite et le nombre d'or ^n+1 a pour limite l'infinie ?
Puis ensuite la limite de Un qui est la meme ?
le rapport de deux termes qui chacun tend vers l'infini est indéterminé
pour lever l'indétermination ça ne sert à rien de calculer séparément chacune des limites (à part voir qu'on a une forme indéterminée ...)
il faut d'abord s'arranger pour "simplifier" la fraction Un+1 / Un , écrite en littéral.
Ah je vois ci je veux faire par exemple la limite de Un+1
Je peux dire que (-1 / nombre d'or )^n+1 n'a pas de limite étant de que q < 0
et que du coup la limite de Un+1 = nombre d'or^n+2 /racine de 5 ?
non
je répète :
il faut calculer la limite de et pas calculer individuellement la limite du numérateur et la limite du dénominateur
et comme pour toute forme indéterminée de ce genre il faut mettre en facteur le terme qui domine
c'est à dire pour le simplifier. avant de faire tendre n vers l'infini
rappel :
pour pouvoir mettre en factreur
et
ah mince du coup je ne peux pas écrire lim de Un+1 sur Un = ( nombre d'or ^n+2 / racine de 5 )/( nb^n+1/ racine de 5) = nb^n+2/ nb^n+1 = nombre d 'or ?
si je factorise il va me rester ( nb - (-1/nb^n+2)^n+2 ) / ( 1 - ( -1/nb^n+2)^n+2 ) ?
erreur de calcul sur les exposants, mais bon, ça ne change rien :
les trucs en 1/... tendent vers zéro
et donc le rapport tend vers
calculs faux par manque de rigueur dans le calcul sur des exposants
résultat final juste : que ce soit des (juste) ou des
(faux) ça tend de toute façon vers 0
la nuit porte conseil on verra demain,
révise les règles de calcul sur les exposants.
tu as écrit :
( nb - (-1/nb^n+2)^n+2 ) / ( 1 - ( -1/nb^n+2)^n+2 ) ?
déja les parenthèses ne sont pas bonnes
car nb^n+2 veut dire et pas
ensuite (je remets en écrivant en LaTeX) :
on divise par , pas par
, (ce qui donne bien
au numérateur
et ce que l'on obtient au numérateur c'est ça, en divisant par
:
et pareil avec 1 de moins en exposants au dénominateur
donc au final :
Annuler
connectez vous