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suite de Fibonacci et nombre d'or

Posté par
mezn95
26-10-20 à 17:15

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon exercice :

Le nombre φ = ( 1 + racine de 5 ) / 2 s'appelle le nombre d'or.
On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par Un = 1/ racine de 5 ( φ^n+1   - ( -1 / φ) ^n+1 )

1.a calculer les termes U0 et U1.

b. A l'aide de la calculatrice, afficher les 10 premiers termes de cette suite. Que remarque-t-on sur le type des nombres obtenus ?

c. Conjecturer une relation entre Un , U(n+1) , U(n+2)

2. La suite de Fibonacci est la suite (Fn ), définie par F0 = F1 = 1 et, pour tout entier naturel n, Fn = Un.

Calculer lim ( lorsque n tend vers + infinie ) F(n+1)  / Fn

Du coup pour la q 1 j'ai trouvé U0 = 1 U1 = 1

b. 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 12, 21, 34, 55

Chaque terme à partir du 3 e est la somme des deux précédents. ( Je ne vois pas trop ils entendent quoi par " type des nombres "

c. U(n+2 ) = Un + U(n+1) à partir du rang 2.

Pour la q2 je ne vois pas comment calculer la limite.


Merci par avance à tous ceux qui m'aideront !



Posté par
alma78
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 26-10-20 à 17:34

Bonjour,
Tu as Un+2= Un+1 + Un
Divise tout par Un+1
Appelle x la limite de Un+1/Un qui est aussi la limite de Un+2/Un+1
Tu obtiendras une équation du second degré en x à résoudre.

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 26-10-20 à 17:40

j'ai pas très bien compris 😅

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 26-10-20 à 18:02

Bonjour,

pour le "type" des nombres : ce sont des nombres entiers
ce qui est surprenant avec des racines de 5 partout dans le calcul !
c'est cela qu'on te demande de remarquer.

c) à partir de n = 0 d'ailleurs
(U0+2 = U2 = U0 + U0+1 = U0 + U1

ou alors il faudrait dire Un = Un-1+Un-2 à partir de n = 2

limites :
pour l'instant la suite de Fibonacci n'est pas definie par Fn = Fn-1 + Fn-2 (ou avec des indices décalés) mais par Fn = Un qui est définie par des puissances de trucs en racine de 5 et rien d'utre !!

c'est ça qu'il faut utiliser pour la limite

("la somme des deux termes précédents n'est dans cet énoncé que une conjecture, pas du tout prouvée à ce stade, donc on n'a pas le droit de l'utillser)

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 16:57

Est ce que je dois faire la limite de Un+1 du coup ça nous donne + infinie je crois car ( -1 / nombre d'or)^n+1 n'a pas de limite et le nombre d'or ^n+1 a pour limite l'infinie ?

Puis ensuite la limite de Un qui est la meme ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 17:13

le rapport de deux termes qui chacun tend vers l'infini est indéterminé \dfrac{\infty}{\infty}

pour lever l'indétermination ça ne sert à rien de calculer séparément chacune des limites (à part voir qu'on a une forme indéterminée ...)
il faut d'abord s'arranger pour "simplifier" la fraction Un+1 / Un , écrite en littéral.

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 17:21

Ah je vois ci je veux faire par exemple la limite de Un+1

Je peux dire que (-1 / nombre d'or )^n+1 n'a pas de limite étant de que q < 0

et que du coup la limite de Un+1 = nombre d'or^n+2 /racine de 5 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 17:44

non
je répète :

il faut calculer la limite de \dfrac{U_{n+1}}{U_n} et pas calculer individuellement la limite du numérateur et la limite du dénominateur

\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac {\varphi^{n+2}   - ( -1/\varphi)^{n+2}}{ \varphi^{n+1}   - ( -1/\varphi)^{n+1}}

et comme pour toute forme indéterminée de ce genre il faut mettre en facteur le terme qui domine
c'est à dire \varphi^{n+1} pour le simplifier. avant de faire tendre n vers l'infini

rappel :
pour pouvoir mettre en factreur \varphi^{n+1}

\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} \times \varphi \; \; et  \; \;1 = \varphi^{n+1} \times \dfrac{1}{\varphi^{n+1}}

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 18:07

ah mince du coup je ne peux pas écrire lim de Un+1 sur Un = ( nombre d'or ^n+2 / racine de 5 )/( nb^n+1/ racine de 5) = nb^n+2/ nb^n+1 = nombre d 'or ?

si je factorise il va me rester ( nb - (-1/nb^n+2)^n+2 )  /  ( 1 - ( -1/nb^n+2)^n+2  ) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 18:51


erreur de calcul sur les exposants, mais bon, ça ne change rien :
les trucs en 1/... tendent vers zéro

et donc le rapport tend vers \dfrac{\varphi - 0}{1 - 0} = \varphi

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 18:55

désolé je me suis trompée ou ça ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 19:12

(1/A^n)/A^m = 1/A^(n+m) et pas 1/(A^n)^m qui serait 1/(A^(mn))

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 20:47

je suis vraiment désolée Monsieur mais je suis vraiment perdue entre ce qui est bon ou faux et où

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 31-10-20 à 22:25

calculs faux par manque de rigueur dans le calcul sur des exposants

résultat final juste : que ce soit des \dfrac{1}{\varphi^{2n+2n}} (juste) ou des \dfrac{1}{ \varphi^{2n\times 2n}} (faux) ça tend de toute façon vers 0

la nuit porte conseil on verra demain,
révise les règles de calcul sur les exposants.

Posté par
mathafou Moderateur
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 01-11-20 à 10:32

tu as écrit :
( nb - (-1/nb^n+2)^n+2 ) / ( 1 - ( -1/nb^n+2)^n+2 ) ?

déja les parenthèses ne sont pas bonnes
car nb^n+2 veut dire nb^n + 2 et pas nb^{n+2}

ensuite (je remets \varphi en écrivant en LaTeX) :

on divise par \varphi^{n+1}, pas par \varphi^{n+2}, (ce qui donne bien \dfrac{\varphi^{n+2}}{\varphi^{n+1}} = \varphi au numérateur

et ce que l'on obtient au numérateur c'est ça, en divisant \left(\dfrac{-1}{\varphi}\right)^{n+2} par \varphi^{n+1} :

\dfrac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{n+2}{\red \times} \varphi^{n+1}} = \dfrac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{(n+2) {\red +} (n+1)}} = \dfrac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{2n+3}} 
 \\

et pareil avec 1 de moins en exposants au dénominateur

donc au final :

\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{\varphi - \dfrac{(-1)^{n+2}}{\varphi^{2n+3}}}{1 - \dfrac{(-1)^{n+1}}{\varphi^{2n+2}}}
 \\

Posté par
mezn95
re : suite de Fibonacci et nombre d'or 01-11-20 à 14:19

d'accord merci beaucoup pour votre aide🙏



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