Bonjour,

J'ai un exercice de maths sur la suite de Fibonacci, j'ai fait les 3 premières questions mais je bloque à la 4e donc si vous pouviez m'aider, ça ferait plaisir.

Exercice :

Dans cet exercice on va étudier la suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est définie par ses deux premiers termes f₀ = 1, f₁ = 1 et par la relation de récurrence :
            n, f_n+2 = f_n+1 + f_n
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1/ Démontrer par une récurrence d'ordre 2, que pour tout entier naturel n, f_nn.

Ma réponse > Initialisation : f₂ = f_n+1 + f_n = 1 + 1 = 2.
                              2 = n = 2
                              P(2) est vraie.

             Hérédité : Soit n
                        Supposons que P(n) est vraie c'est à dire que f_nn et que        
                        P(n+1) est vraie, c'est à dire que f_n+1n.
                        Montrons que P(n+2) est vraie, c'est à dire que f_n+2n.

                         Sachant que f_n+1 et f_n sont supérieures ou égales
                        n, et que f_n+2 = f_n+1 + f_n,
                        on a alors :
                        f_n+2n.

                        P(n+2) est vraie, la propriété est héréditaire.

              Conclusion : On a démontré par une récurrence d'ordre 2 que n, f_nn.
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2/ En déduire le comportement à l'infini de (f_n)

Ma réponse > Soit (f_n)= f(x)
             On a alors f(x) = (x-1)+(x-2) = 2x-3
             On étudie la fonction dérivée de f(x), soit f'(x).
            
             f'(x) = 2
             2 > 0
             Ainsi f(x) est croissante sur [0;+)
             Sachant que f(x) = f_n, (f_n) est croissante n.
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3/ On pose, pour tout n, w_n = f_n+1/f_n.

     a) Démontrer que pour tout n , w_n+1 = 1+1/w_n.

     Ma réponse > On a w_n = f_n+1/f_n
                  Ainsi, w_n+1 = f_n+2/f_n+1
                                         = f_n+1+f_n/f_n+1
                                         [f_n+1/f_n+1] + f_n/f_{[/sub]n+1
                  Or, w[sub]n} = f_n+1/f_n
                  Donc f_n/f_n+1 est l'inverse de w_n, soit 1/w_n.

                  Au final, on a alors : w_n+1 = 1 + 1/w_n.
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Et à partir de là je bloque un peu.

      b) Soit la solution positive de l'équation x = 1 + 1/x
         Calculer .

Ma réponse : On a x = 1+1/x x-1-1/x = 0
             On multiplie l'équation par x, on obtient : x² - x - 1 = 0
             On utilise alors le discriminatoire :
             = b² - 4ac = 1 + 4 = 5
             Il y a donc deux solutions à l'équation, mais une seule est positive :
             = [1 + 5]/2

             Ce nombre correspond au nombre d'or.
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       c) Démontrer par une récurrence simple, pour tout n que f_n+1-f_n = (-1)ⁿ⁺¹/ⁿ⁺¹

          Mais lorsque je calcule P(0) je trouve que la deuxième partie de l'égalité est l'inverse de la première, est-ce que c'est normal ?
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       d) En déduire, pour tout n que w_n - = (-1)_n+1/f_nⁿ⁺¹.
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       e) En déduire la convergence de la suite (w_n) en précisant sa limite.



Voilà, j'ai vraiment besoin d'aide svp.

Merci d'avance !