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Suite de points du plan :
Bonjour à tous. J'aurais besoin de votre aide pour un exercice :
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (o; 
, 
). Soit S la similitude directe de centre 0, de rapport k et d'angle 
/6).
1) Quelle est l'expression complexe de S ?
2) Soit Ao le point d'affixe 4. Pour tout entier n non nul, An+1 est le point défini par An+1 = S(An).
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, si Zn désigne l'affixe de An, on a Zn = 4 kn ein/6
3) Pour quelles valeurs de n, Zn est-il un réel ? Un imaginaire pur ?
4) Si k=1, montrer que pour tout entier naturel n, An+12=An. Placer sur une figure les points An pour n de 0 ) 11. Quelle figure obtient-on ?
5)a) Si k) 2 /
3, montrer que le triangle 0AnAn+1 est rectangle en An, pour tout n. Placer sur la figure les points An pour n de 0 à 6
b) Déterminer la longueur A0A1. En déduire, en utilisant les propriétés dess similitudes que :
AnAn+1 = (2/3)nA0A1 et calculer la longueur de la ligne brisée A0A1...A12
6)a) Si k ) 3 /2, montre que le triangle 0AnAn+1 est rectangle en An+1 pour tout n. Placer sur la figure les points An pour n de 0 à 12.
b) Déterminer la longueur A0A1. En déduire, en utilisant les propriétés des similitudes que :
AnAn+1 = (3 /2)nA0A1
Déterminer la limite, quand n tend vers l'infini de la longueur ln de la ligne brisée A0A1...An
Bon voila, en fait je bloque dès la question 5)a). J'aimerais un peu d'aide à partir de cette question au moins. Merci d'avance 
Excusez moi, petite faute de frappe pour la 5) a) et 6) a), la parenthèse après k est en fait un signe =
bonsoir
5)a) Calcule l'angle (AN O , An An+1)
b) pose un = zn+1 - zn
Montre que un est une suite géométrique
la suite sera alors simple
6) Calcule l'angle (AN+1 O , An+1 An)
bonsoir,
sauf erreur
On calcule (zn+1-zn)/-zn
on trouve
- zn+1/zn +1
-keipi/6+1
-2/rac(3) (rac3/2 + 1/2 i ) + 1
-1/rac(3) i
c'est un imaginaire pur
Je suis d'accord que l'on calcule zn+1-zn/-zn
Le problème c'est que ça ne me donne pas -zn+1/zn+1 ensuite.
La seule différence entre votre calcul et le mien, c'est que vous ne prenez pas en compte la puissance n sur k. Je pense que le problème vient de là. En effet, dans la question 2) on a zn = 4 knein/6
bonsoir
zn+1 / zn = 4 k^n+1 ei(n+1)pi/6 : 4 k^n einpi/6
k^n+1 : k^n = k
ei(n+1)pi/6 : einpi/6 = eipi/6
je suis d'accord mais ça nous fait au final 1 - ke^ipi/6
Or le module fait 2/3 donc je trouve que l'arg fait Pi/3 :/
bonjour,
le calcul est exact
mais on se fatigue pour peu de chose
si on avait lu l'énoncé "en utilisant les propriétés des similitudes"
S est une similitude de rapport k
An+1An+2 = k AnAn+1
la suite définie par dn = AnAn+1 est géométrique de raison k
Ok pour ça. Ensuite ils demandent la longueur de A0A1...A12
Donc j'ai dit que c'était le module de 
k=0 à 11 de AnAn+1
Donc j'ai utilisé la formule de la somme d'une suite géométrique
Uo x (k)12 - 1 / k - 1
Mais ça me fait un nombre gigantesque avec des fractions à 4 ou 5 chiffres au numérateur et au dénominateur.
Y aurait-il une erreur ?
bonjour
Tu as écris :
"le module de k=0 à 11 de AnAn+1"
Non
c'est la somme d0 + d1 + d11
je dirais d0 * ( k^12 -1 ) /k-1
Ne calcule que ( k ^12 -1 )/ (k-1) et laisse (k ^12 -1) sans le calculer explicitement
Donne-moi la valeur trouvée
Je regarderai le reste en fin d'après-midi à mon retour
bonsoir
ok pour : 4 (3+2)((2/3)^12-1)
la formule avec 5 ne me dit rien. Peux-tu développer ton calcul ?
5 correspond à AoA1 si k = 3 / 2
Donc après A0A1...An = 5 x ((3 /2)n+1 - 1) / 3 /2 -1
Donc je développer en laissant (3 /2)n+1 - 1 d'une part et de l'autre ça fait 5 / 3 /2 -1 que je developpe et ça donne la formule finale.
Y a-t-il une erreur ?
A0A1 = | z1-zo |
=43/2 (3 /2 + i/2) -4
= |-1 + 3 i |
En effet, je m'aperçois que j'ai calculé trop vite.
A0A1 ça fait donc 2 ?
Je reprends depuis le début.
AoA1...An = | 2 x (3 /2)n - 1 / 3 /2 -1 |
ce qui fait....encore une erreur de calcul. Je dois commencer à fatiguer ^^
Bref au final cette fois ci ça me donne une limite de 4 (3 +2)
J'espère que c'est la bonne cette fois.
Ah et une dernière question. Ca concerne la question 6) a). Lorsque je trace, je n'obtient rien de spécial et j'obtiens des fractions assez complexes.
J'utilise la formule 4knein/6
avec k = 2/3
J'obtiens pour n=0 -> 4
n=1 -> 4 +43 i /3
n=2 -> 8/3 + 8
3 i /9
etc.jusqu'à 6.
Ca me parait assez bizarre.
Bonjour,
Les coordonnées n'ont rien d'intéressant
Ce qui compte c'est qu'on tourne toujours d'un angle de pi/6 et que
OA0A1 est rectangle en A0
OA1A2 est rectangle en A1
etc....
bonsoir
ce qu'on peut retenir :
A une similitude d'angle pi/ 6 et de rapport cos pi/6 ou 1/ cospi/6 on pourra associer un triangle rectangle
De même avec une similitude d'angle pi/3 et de rapport cos pi/3 ou 1/cospi/3
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