Oups j'ai oublié de donner la suite.
Déterminer pour n>=0 le degré Pn et son terme de plus haut degré.

Re-salut!
Re

J'ai comme l'impression que tu as attaque les polynomes cette semaine...

Degre de Pn:
Si d_n est le degre de Pn, alors d'apres la relation de recurrence on a d_n+1 = d_n + 1
(on te donne la derivee du polynome...).
Donc facilement, deg(Pn) = n


Terme de plus haut degre
Je vais l'appeler a_n.
Alors d'apres la relation de recurrence, et puisque le degre de Pn est n (important, ca):
(n+1)a_n+1 = (2n+1)a_n

Je te laisse faire un belle recurrence pour trouver l'expression de an en fonction de n.

A+
biondo

Hum je suis décidément pas doué. C'est clair pour le reste, mais j'ai du mal à trouver la récurrence pour donner an en fonction de n.
Je comprends comment on arrive à
=(2n+1)an

Ensuite je transforme
=(2n+1)/(n+1).an

Je suppose qu'il s'agit d'une suite géométrique, ce que je vais essayer de prouver par récurrence...

On cherche à vérifier  que
=.

Pour n=0
ao= ao    ok

Supposons que c'est vrai au rang n

et après j'avoue que je suis assez mal à l'aise pour prouver que Pn+1 est vraie.

je viens de voir qu'on peut simplifier la relation, vu que ao=1
J'obtiens:
an=

Hum et après?

et après j'avoue que je suis assez mal à l'aise pour prouver que Pn+1 est vraie
Je voulais dire que la relation est vraie au rang n+1

Ohhhh je crois que je viens de comprendre comment faire.
Il me semble qu'il suffit que j'utilise la relation donnée au début avec la dérivée. La suite dans quelques instants.

Hum j'arrive très bien à prouver que
(n+1)a_{n+1}= (2n+1)an  

c'est ce qui s'appelle tourner en rond.

Je crois que j'ai fait une confusion entre terme de plus haut degré et coefficient .
Je lis dans mon cours que le terme de plus haut degré est :
an. X^n

?? au secours

Alors:
a_n = (2n-1)/n a_(n-1)
a_(n-1) = (2n-3)/(n-1) a_(n-2)

etc...


donc a_n = (2n-1)(2n-3)... 1 / (n(n-1)...1) a0

a_n = 1/2 . (2n)! / (n!)^2

a peu de choses pres, j'ai pas verifie les bords...

Et le terme de plus haut degre, c'est le coefficient multiplie par X^(degre).


A+
biondo

Bein du coup les bords me gênent. Comment est ce que je peux savoir que  
(2n-1)(2n-3)... 1 / (n(n-1)...1)     finit bien au numérateur et au dénumérateur par 1 (en même temps)?

Ok je comprends pourquoi a_n = (2n-1)(2n-3)... 1 / (n(n-1)...1) a0 fonctionne et qu'on finit bien en même temps sur 1 en haut et en bas.
Par contre j'ai quand même un problème avec la récurrence pour prouver que la relation est vraie.
Il me semble qu'au rang 0 le terme de plus haut degré est 1  (Po(X)=1).
Or avec a_n = 1/2 . (2n)! / (n!)^2 , le terme de plus haut degré est 1/2

Au rang 1 on a
P1'= 3.Po= 3
d'où    P1= 3X
Le terme de plus haut degré est 3X

La formule n'est valable que pour n superieur ou egal a 1 (sinon, le premier 2n-1 fait assez mal...).

Ensuite, pour le premier terme de P1:

P'1 = P0  chez moi...


A+
biondo

P'1 = P0  chez moi...
Oups oui pardon. Je m'y replonge.

J'ai du mal à trouver comment rédiger. Il me semble que dans le travail qu'on a fait sur a_n, on s'est intéressé au coefficient de plus haut degré. Il faut donc que je rajoute X^(plus haut degré) pour obtenir le terme. Je me trompe?

Non, c'est bien ca.
Le terme de plus haut degre c'est a_n.X^n (puisque le degre est n).

biondo

La formule n'est valable que pour n superieur ou egal a 1 (sinon, le premier 2n-1 fait assez mal...).
J'avoue que je suis un peu perdu... Il me semble que ça marche également pour n=0
on a alors ao= 1     et Po= 1... ça colle non?

On a:
   (*)

Soit a_n, le coefficient du terme de plus haut degré.
D'après (*), on a:






etc

On en déduit donc, pour n>=1 :


    (car ao=1)



Donc le terme de plus haut dégré est :

Est ce que ma correction vous semble cohérente?

je voulais dire ma rédaction.

He be non alors.

Il faut dire que j'avais fait le guignol dans mon post d'avant. mea culpa.


an = (2n-1)(2n-3)...1/n!   (jusque la ca va)

an = 2n(2n-2)...2.(2n-1)(2n-3)...1/(2n(2n-2)...2.n!)   (Ok aussi)

donc
an = (2n)!/(2^n.(n!)^2)   (factorielle 2n sur (2 puissance n fois (factorielle n) au carre))   (obtenu en factorisant tous les 2 du denominateurs, il y en a n, et il reste n!)

et en a0, ca marche aussi du coup.

OK??? C'est toujours delicat, ces factorielles.... Voir les integrales de Wallis pour s'entrainer.

A+
biondo

ET mer**!
J'aurais juré que c'était bon
Comme tu dis je ne trouve pas très évidente la  manipulation de ces factorielles. Il aurait suffit que je relise ton post quelques messages plus haut...