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Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel

Posté par
Yona07 20-11-21 à 15:09

Bonjour!

Soit un nombre irrationnel appartenant à l'intervalle ]0;1[, et considérons la suite (x_n)_{n\geq 0} définie par: x_0=\lambda et pour tout n0: x_{n+1}=\frac{1}{x_n-E(x_n)}.

1.Montrer que pour tout n, on a: x_n\, et que  x_n \geq 1 pour tout n*.

2.Soient (p_n)_{n\geq 0} et (q_n)_{n\geq 0} deux suites d'entiers définies par:

\begin{cases} p_0=1; \\ p_1=0\\ p_{n+1}=p_nE(x_n)+p_{n-1}, \text{ pour tout } n \in N^*\end{cases}

Et:

\begin{cases} q_0=0; \\ q_1=1\\ q_{n+1}=q_nE(x_n)+q_{n-1}, \text{ pour tout } n \in N^*\end{cases}

Montrer que: \lim_{n\rightarrow +\infty}p_{n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}q_{n}=+\infty.

3.Montrer que les suites (\frac{p_{2n}}{q_{2n}})_{n \geq 0} et  (\frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}})_{n \geq 0} sont adjacentes, en déduire la convergence de la suite (\frac{p_{n}}{q_{n}})_{n \geq 0}.

4. Montrer que pour tout n *: \frac{p_nx_n+p_{n-1}}{q_nx_n+q_{n-1}}=\lambda.

5.Montrer que: \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{p_n}{q_n}=\lambda.

J'enverrai ce que j'ai fait dans le message suivant.

Merci d'avance!^^

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 15:23

Pour 1:

La justification que j'ai faite concernant l'appartenance de x_n me paraît  insuffisante:

*Initialisation:

Pour n=0: x_0=\lambda \in \R -\Q

*Hérédité:

Soit n fixé. Supposons que x_n \in \R - \Q et montrons que x_{n+1} \in \R - \Q.

x_n\in \R-\Q \text{ et } E(x_n)\in \Z \text{ donc } x_n-E(x_n)\in \R-\Q \text{ et par la suite } x_{n+1}\in \R-\Q

*Conclusion:

Pour tout n x_n\in \R-\Q

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 15:33

Montrons que x_n\geq 1 \text{ pour tout }n\in \N^*

*Initialisation:

Pour n=1: x_1=\frac{1}{\lambda}\geq 1

*Hérédité:

Soit nN* fixé. On suppose que x_n \geq 1 et on montre que x_{n+1} \geq 1.

\text{On a: } x_n-1<E(x_n)\leq x_n\\ \text{Donc: }x_n-E(x_n)<1 \\ \text{Par la suite: } x_{n+1}=\frac{1}{x_n-E(x_n)}>1

L'ordre est strict.. Puis-je le rendre large??

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 15:56

Pour 2:

Montrons d'abord que pour tout n, p_n\geq 0:

* Initialisation:

p_0=1, p_1=0\geq 0

*Hérédité:

Soit n fixé. Supposons que: p_n,p_{n+1}\geq 0 et montrons que p_{n+2}\geq 0.

On a: p_{n+2}=p_{n+1}E(x_{n+1})+p_n\\ \text{En fait: } p_n, p_{n+1}\geq 0 \text{ et } E(x_{n+1})\geq 1 \\\text{Donc: } p_{n+2}\geq 0

*Conclusion:
n, p_n\geq 0.

---On a: p_{n+1}-p_n= p_n(E(x_n)-1)+p_{n-1}\geq 0, donc (p_n) est croissante.

Supposons que (p_n) est majorée, ainsi: (p_n) est convergente, soit \lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=l.

Ainsi:

\lim_{n\rightarrow +\infty}E(x_n)= \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n-1}}{p_n}=0 \text{ or: }E(x_n)\geq 1 \text{ absurdité }

Donc: (p_n) n'est pas majorée, et  (p_n) est croissante, d'où: \lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=+\infty

Mais je m'en doute..
Une suite qui n'est pas bornée et qui est croissante ne tend pas nécessairement vers +, non?

Posté par
carpediemre : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 17:45

salut

1/ compléter en disant que l'inverse d'un irrationnel est irrationnel ...

Posté par
carpediemre : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 17:49

si a - b < c alors a - b c ...

la réciproque est bien sûr fausse ...

Posté par
Foxdevilre : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 18:08

Bonsoir Yona07,

Citation :
La justification que j'ai faite concernant l'appartenance de x_n me paraît  insuffisante:
Il manque la précision qu'a ajouté carpediem, mais à part ça, ça me paraît bon.

Pour la 2, pas besoin de récurrence. Vu que x_n est irrationnel, on a nécessairement : x_n - E(x_n) >  0. Or x_n - E(x_n) < 1. Donc en passant à l'inverse, on obtient ce qu'il faut.

Citation :
Une suite qui n'est pas bornée et qui est croissante ne tend pas nécessairement vers +, non?
Si. C'est le théorème de la limite monotone.

Qu'en est-il des questions suivantes?

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 18:21

Je les ai toutes résolues. J'enverrai ce que j'ai fait en qq minutes.

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 20-11-21 à 21:20

Salut! Désolée pour le retard ..Les qq minutes sont devenues des qq heures

Pour la limite de (q_n) dans 2, j'ai procédé de la même manière que pour  (p_n)..

3. En étudiant d'abord la monotonie, j'ai trouvé :

(\frac{p_{2n}}{q_{2n}}) décroissante, et (\frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}}) croissante

Le calcule de la limite de la différence des deux suites et facile, ça donne 0 d'où ces dernières sont adjacentes.

Ainsi, les deux suites tendent vers la même limite qu'on note l..

Alors \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{p_n}{q_n}=l (suites extraites)..

J'ai montré 4 par récurrence.

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 22-11-21 à 21:33

carpediem @ 20-11-2021 à 17:45

salut
1/ compléter en disant que l'inverse d'un irrationnel est irrationnel ...


*Initialisation:

Pour n=0: x_0=\lambda \in \R -\Q

*Hérédité:

Soit n fixé. Supposons que x_n \in \R - \Q et montrons que x_{n+1} \in \R - \Q.

x_n\in \R-\Q \text{ et } E(x_n)\in \Z \text{ donc } x_n-E(x_n)\in \R-\Q *\;\; ( \R-\Q\text{ est un sous-corps de } \R)\\ \\ \text{Supposons que }x_{n+1}\in \Q, \text{ alors: } \frac{1}{x_{n+1}}\in \Q ; (\Q \text{ est un corps commutatif }) \text{ c-à-d: } x_n-E(x_n) \in \Q \text{( contradiction avec *)} \\\\\text{Par la suite } x_{n+1}\in \R-\Q


*Conclusion:

Pour tout n x_n\in \R-\Q

?

Posté par
Yona07re : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 22-11-21 à 21:36

Pour 5, j'ai montré que: \frac{p_{2n+1}}{q_{2n+1}}\leq \lambda\leq \frac{p_{2n}}{q_{2n}}, puis j'ai passé aux limites.

Posté par
Foxdevilre : Suite de rationnels convergeant vers un irrationnel 23-11-21 à 22:22

Citation :
\R-\Q\text{ est un sous-corps de } \R
Attention! C'est faux....

Pour le justifier, il suffit de dire que si x_n-E(x_n) était rationnel, alors x_n aussi (car on lui ajoute un entier, donc rationnel), car \Q est un corps.


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