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suite de recurrence et multiple/diviseur

Posté par
holydiver
18-02-20 à 10:37

Bonjour,
Je bloque sur la deuxième question d'un exercice ( ex **p **** du manuel***** si cela peut aider).
Voila l'enoncé :
Démontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n,
a/ 7^(2n) + 3 est un multiple de 4       ce qui fait  4(49N-36) donc c un multiple
b/3^(2n) -2^(n) est un multiple de 7    la je sèche
Peut être m'expliquer le mécanisme de résolution pourrait m'aider (je suis au point sur la récurrence sur l'ensemble). je n'attend pas avoir une réponse jeter sans aucune explication svp...
merci d'avance

Posté par
carpediem
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 10:52

salut

Citation :
/ 7^(2n) + 3 est un multiple de 4     ce qui fait  4(49N-36) donc c un multiple
incompréhensible ...

3^{2n} - 2^n = (7 + 2)^n - 2^n ...

Posté par
holydiver
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 11:33

Voila comment j'ai répondu :
pour la a/
7^(2n) + 3=4N -> (...) (7^(n+1) +3)= 4N)
7 ^(2n)= 4N'-3
7^(2)  (7^(2n))=(4N'-3) 7^(2)
7^(2)  (7^(2n))+3=(4N'-3)7^(2)+3
7^(2(n+1)) +3= 4N'  
49*4N-147+3= 4(7^(2) -36).
Voila ^^
(je sais pas faire les puissance du coup j'ai mis ^

Posté par
holydiver
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 11:43

carpediem @ 18-02-2020 à 10:52

salut



3^{2n} - 2^n = (7 + 2)^n - 2^n ...

? j'ai pas compris ?
On est censé partir de  k vers k+1 non ?

En fait la où je bloque c lorsqu'il y a plusieurs puissances à différents degrés (je sais pas si cela se dit).
Ce que j'attends et une réponse rédigé s'il vous plait....

Posté par
holydiver
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 11:44

holydiver @ 18-02-2020 à 11:33

Voila comment j'ai répondu :
pour la a/
7^(2n) + 3=4N -> (...) (7^(n+1) +3)= 4N)
7 ^(2n)= 4N'-3
7^(2)  (7^(2n))=(4N'-3) 7^(2)
7^(2)  (7^(2n))+3=(4N'-3)7^(2)+3
7^(2(n+1)) +3= 4N'  
49*4N-147+3= 4(7^(2) -36).
Voila ^^
(je sais pas faire les puissance du coup j'ai mis ^


je sais je n'ai pas mis l'Ini ni la Conclusion c l'Hérédité qui m'interesse.

Posté par
carpediem
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 12:09

holydiver @ 18-02-2020 à 11:33


7^(2n) + 3=4N -> (...) (7^(n+1) +3)= 4N)
7 ^(2n)= 4N'-3 ben non puisque c'est ce qu'on veut prouver !!!
7^(2)  (7^(2n))=(4N'-3) 7^(2)
7^(2)  (7^(2n))+3=(4N'-3)7^(2)+3
7^(2(n+1)) +3= 4N'  
49*4N-147+3= 4(7^(2) -36).


soit P(n) la propriété : 7^{2n} + 3 est multiple de 4

7^{2(n + 1)} + 3 = 49 \times 7^{2n} + 3 = 49(7^{2n} + 3 ) - 48 * 3 = 49(7^{2n} + 3) - 4 \times 36

et on applique l'hypothèse de récurrence ...

ou :

soit P(n) la propriété : 7^{2n} + 3 est multiple de 4

donc il existe un entier k tel que 7^{2n} + 3 = 4k alors :

7^{2n} + 3 = 4k => 49(7^{2n} + 3) = 49 * 4k => 7^{2(n + 1)} + 49 * 3 = 49 * 4k => 7^{2(n + 1)} + 3 = 49 * 4k - 48 * k => 7^{2(n + 1)} + 3 = 4 * (...)

donc P(n + 1) est vraie

...

je t'invite à utiliser la première méthode pour la deuxième question ...

Posté par
holydiver
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 18:19

carpediem @ 18-02-2020 à 12:09

holydiver @ 18-02-2020 à 11:33




soit P(n) la propriété : 7^{2n} + 3 est multiple de 4

7^{2(n + 1)} + 3 = 49 \times 7^{2n} + 3 = 49(7^{2n} + 3 ) - 48 * 3 = 49(7^{2n} + 3) - 4 \times 36[rouge][/rouge]

et on applique l'hypothèse de récurrence ...

Je n'ai pas compris comment faire apparaître -48*3  pouvez vous svp me réexpliquer ?

Posté par
carpediem
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 20:08

3 = 49 * 3 - 48 * 3 ...

Posté par
holydiver
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 20:16

Je viens de comprendre je vous remercie infiniment bonne soirée

Posté par
carpediem
re : suite de recurrence et multiple/diviseur 18-02-20 à 20:42

merci et à toi aussi



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