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suite définie par matrice

Posté par
Tanguy21 07-04-13 à 10:45

Bonjour, je suis bloqué à un exo sur la puissance des matrices de term S spé math. Je suis arrivé a tt faire sauf les deux dernières ou il me semble que j'ai faux.

L'objectif de l'exo est de définir une suite tel que :
\begin{pmatrix} \\    a_n \\ \\    b_n \\ \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \\    a_n-1  \\ \\    b_n-1   \\ \end{pmatrix}
les premiéres ont pour objectif de nous faire trouver les coeficients et de dire que:
\begin{pmatrix} \\    a_n \\ \\    b_n \\ \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} \\    a_0  \\ \\    b_0   \\ \end{pmatrix}

La matrice A est définie tel que:
A =\begin{pmatrix} \\    3&4 \\ \\    2&3 \\ \end{pmatrix}
Pour calculer A^n on nous donne deux matrices :
Q et P qui sont inverses l'une de l'autre donc dont leur produit fait la matrice identité.
tel que :
Q=1/8*\begin{pmatrix} \\    sqrt(2) & 2 \\ \\    -sqrt(2) & 2 \\ \end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} \\    2sqrt(2) & -2sqrt(2)\\ \\    2 & 2 \\ \end{pmatrix}
étant donné que et que QP=I (QAP)^n= (QAP)(QAP)....=QA^nP
J'ai donc calculé QAP ce qui nous donne une matrice diagonale:
\begin{pmatrix} \\    3+2sqrt(2) & 0 \\ \\    0 & 3-2sqrt(2) \\ \end{pmatrix}
La question a pour objectif de déterminer la matrice A^n en fonction de n. Ma technique a été de calculer littéralement QA^nP en posant A^n=[a b ; c d]. Mais je n'arrive pas a retomber sur une formule correcte. Auriez vous une meilleure idée?

Et la derniére question est de déduire a^n=1/2((3-2sqrt(2)^n+(3+2sqrt(2))^n).

Merci d'avance de votre aide   

Posté par
Tanguy21re : suite définie par matrice 07-04-13 à 10:48

ah et j'ai oublié de dire que a0=3 et b0=2 et la suite est définie tel que: Un=(3+2sqrt(2))^n
avec Un=an+bn*sqrt(2);
et an=3*a_n-1+4b_n-1 ; bn=2an-1+3bn-1

Merci d'avance de votre aide

Posté par
veledare : suite définie par matrice 07-04-13 à 11:14

bonjours
tu as D=QAPet par récurrence D^n=QA^nP=>A^n=PD^nQ
et si D=d(\alpha,\beta)alors D^n=d(\alpha^n,\beta^n)     ici\alpha=3+2\sqr 2 , \beta=3-2\sqr 2

Posté par
mathx96re : suite définie par matrice 07-04-13 à 11:24

Bonjour,

La puissance n-ième d'une matrice diagonale est la puissance n-ième de ses coefficients diagonaux.

Si on pose D = QAP

Or, (QAP)^n = D^n = QA^nP A^n = Q^{-1}D^nP{-1}


D'où A^n = PD^nP^{-1} = PD^nQ

Il ne te reste plus qu'à conclure.


Mathx96

Posté par
mathx96re : suite définie par matrice 07-04-13 à 11:24

Bonjour Veleda

Posté par
Tanguy21re : suite définie par matrice 07-04-13 à 12:17

merci a vous deux pour les réponses, j'y suis arrivé . et je tombe sur le bon résultat.

Encore merci

Posté par
veledare : suite définie par matrice 07-04-13 à 13:07

de rien
bonne fin de w-end


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