bonjour

b) Démontrer par récurrence ... u_n = 3*2ⁿ - 3ⁿ

qu'as-tu trouvé pour U₂, U₃ et U₄ ?

pour la démo, regarde dans le cours : quelle est la 1ère étape à faire ?

bonjour,

carita je ne comprend toujours pas comment faire pour trouver U2,U3 et U4 .. :?

u₀= 2
u₁= 3

on sait que, par définition :
u_n+2= 5u_n+1 -6u_n

pour calculer U2, on va poser n = 0 ==> U₀₊₂ = U₂

on a donc
u₂
= u₀₊₂
= 5u₀₊₁ - 6u₀ --- on remplace "n" par 0
= 5u₁ - 6u₀  
= 5*3 - 6*2
= 15-12
= 3
as-tu compris ?
essaie pour les autres

je pense avoir compris la démarche mais je ne comprend pas par quoi on remplace "n" dans les cas de U3, U4.. comment sait on par quoi faut -il remplacer n ??

car si je prend n=0 pour U3 et U4 je tomberais sur le même résultat que U2...


Merci de votre aide!

pour calculer U₂, on va poser n = 0 car U₀₊₂ = U₂

pour calculer U₃, on doit donc donner quelle valeur à n ?

pour calculer U3 on doit donc donner a "n" la valeur de 1 ?? si j'ai bien compris??

et oui

et pour U4, n = 2

allez, tu trouves quoi comme résultat ?

j'ai donc trouvé pour u3= (-8) et pour u4= (-58) et pour u2= 3

est ce  normal d'obtenir un résultat négatif ?   

u2 = 3 ok
je trouve pas comme toi pour les  2 autres, tu me montres le détail de ton calcul , stp ?

et oui, c'est possible d'avoir des termes négatifs.

U3:

U1+3
= 5u1+1-6u1
=5u2-6u1
=5x2-6x3
=10-18
=-8


U4:

U2+4
=5u2+1-6u2
=5u3-6u2
=5x(-8)-6x3
=(-40)-18
=-58

   :(

NON
à 18h18, tu m'as dit

effectivement j'ai trouvé mon erreur idiote..

j'ai donc trouvé pour
u3= -3

u4= -33

est ce juste maintenant ??

oui

pour la récurrence, as-tu déjà étudié le cours, et refais les exemples corrigés ?

si oui, par quelle étape tu dois commencer?

pour la récurrence je dois tout d'abord commencer par initialisation puis hérédité, démonstration et conclusion

mais j'ai du mal a savoir comment procéder pour démontrer ce qui est montré car je n'ai pas tout a fais compris le cours :/

merci énormément pour votre aide

oui, commencer par initialisation puis hérédité

u0= 2
u1= 3
u_n+2= 5u_n+1 -6u_n
cette suite est d'ordre 2 : le terme de rang n+2 se calcule à partir des rangs n et n+1
on va vérifier l'initialisation sur les deux permiers termes U0 et U1

initialisation
u_n = 3*2ⁿ - 3ⁿ
lorsque n=0, U0 = ...?
lorsque n=1, U1 = ...?
donc....
---

dans ce cas particulier de suite,
on suppose que si la proposition est vraie aux rangs n et n+1, alors elle est encore vraie au rang n+2

hérédité
hypothèse : soit P(n) la proposition u_n = 3*2ⁿ - 3ⁿ
on suppose qu'elle est vraie au rang n ET au rang n+1,
c'est-à-dire que l'on a :
u_n = 3*2ⁿ - 3ⁿ --- VRAI
u_n+1 = 3*2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹ --- VRAI

montrons qu'elle est encore vraie au rang n+2,
c'est-à-dire que l'on a :
u_n+2 = 3*2ⁿ⁺² - 3ⁿ⁺² <--- voilà ce que tu dois montrer

---

commence ainsi :
5*u_n+1 - 6*u_n
= .... utilise les expressions posées dans l'hypothèse

lorsque je developpe  5xu(n+1)-6xu(n)

j'obtient comme résultat 15-18n en ayant développé et remplacé u(n+1) et u(n) par leur valeur émise dans l'hypothèse

mais je doute fortement que ce que j'ai fais sois juste car je ne vois pas de rapport avec ce que je dois démontrer...

montre le détail de ton calcul, stp, pour que je puisse t'aider.

n'oublie pas de mettre des () si nécessaires, et d'utiliser ^ pour les puissances (ou la touche X₂ ci-dessous)

5x(3x2^n+1)- 6x(3x2^n-3^n)

5x(6^n+1-3^n+1)- 6x(6^n-3^n)

(5x3)- (6x3^n)

15-18^n

u_n = 3*2ⁿ - 3ⁿ
u_n+1 = 3*2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹

5*u_n+1 - 6*u_n

= 5*(3x2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹)- 6*(3x2^n - 3^n)

.......... = 5*(6^n+1 - 3^n+1)- 6x(6^n-3^n) ligne fausse         a * b^n (ab)^n

commence par distribuer le 5 et le 6 pour te débarrasser des ( )
puis regroupe les termes avec puissances de 2 entre eux, et les termes avec puissances de 3 entre eux
puis factorise...
(je te conseille auparavant d'écrire, sur un coin de brouillon, les qq propriétés de calculs sur les puissances, pour te remémorer ce que est possible de faire, ou pas)

et souviens toi que tu dois arriver à  3*2ⁿ⁺² - 3ⁿ⁺²

je suis vraiment désolé mais je n'arrive pas a développer et factoriser pour tomber sur le résultat ....

montre moi le détail de ce que tu as écrit, je t'aiderai.

ceci dit, tu es en TS, et si tu ne sais pas développer une forme a(b+c) = ab + bc... il va falloir te réveiller

lol
a(b+c) = ab + ac

je sais parfaitement développer cette forme c'est juste que je tombe sur un resultat faux...

fais voir, pas grave s'il y a des erreurs, l'important c'est de de participer ^^

5*u_n+1 - 6*u_n

= 5*(3*2ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹) - 6*(3*2ⁿ - 3ⁿ)

= ......

= 3*2ⁿ⁺²   -   3ⁿ⁺²

il y a des variantes possibles à ce calcul

Oh merci beaucoup, vous m'avez franchement bien aidé, je vous remercie. Donc maintenant je fais la partie conclusion Est-ce exact?

Merci même 5 ans après toujours utile !
J'espere vous n'avez pas eu le covid cordialement

Merci beaucoup, même 5 ans après les exercices sont toujours les mêmes, en espérant que votre vie se passe très bien et que le Covid ne vous aient pas tué entre temps

"en espérant que  le Covid ne vous aient pas tué entre temps"
_{... eh non, toujours là ! on résiste !}

prenez soin de vous également,
bonne continuation à tous