bonjour
*on a f(Un) = Un+1
demonstration par reccurence :
pour n= 1 l'expression est vraie
alors supposant que Un ]2,4[
et montrant que Un+1 ]2,4[
Un ]2,4[
<==> f(Un) ]2,4[
<==> Un+1 ]2,4[ (sachant que  f est croissante et f(2)=2 et f(4)inferieur à 4 )
donc Un ]2,4[
c'est tout

désolée car j'ai pas le temps pour t'expliquer de plus à +et bon courage

merci de ta réponse mé que fé tu de n=5 n=6 n=10 ou n=15 ?

pourriez vous m'en dire plus

salut
kimilia t'as donne une bonne reponse.
elle a fait un raisonnement par recurrence.
elle a montre que pour n=1 U(n) est dans ]2,4[.


puis elle a pris un n tel que U(n) est dans ]2,4[.
elle a pu le faire car il existait AU MOINS un n comme ca (n=1).
elle montre apres que c'est aussi vrai pour n+1.

U(n) est dans ]2,4[.
or U(n+1)=f(U(n)).
comme f est (strictement) croissante sur ]2,4]
pour tout x dans ]2,4] f(2)<f(x)=<f(4)
f(2)=2 et f(4)=8/3=<4
donc si x est dans ]2,4] alors f(x) est dans ]2,4]
si U(n) est dans ]2,4] alors f(U(n))=U(n+1) est dans ]2,4]

comme U(n) est dans ]2,4] (hypothese de recurrence) on a U(n+1) qui est dans ]2,4].

si pour n c'est vrai alors pour n+1 c'est vrai aussi
(on dit que la propiete est hereditaire)

pourquoi tout cela ?
on a montre que c'est vrai pour n=1.
comme on a montre "si pour n c'est vrai alors pour n+1 c'est vrai aussi" c'est vrai aussi pour n=2.
n=2 vrai donc n=3 donc n=4.... jusqu'a +oo

donc pour n>=1 on a U(n) dans ]2,4].

quant a ta remarque :
"merci de ta réponse mé que fé tu de n=5 n=6 n=10 ou n=15 ?"
j'ai peur de comprendre :
ce n'est pas U(n)=f(n) ou U(n+1)=f(n) MAIS U(n+1)=f(U(n)).

si on veut calculer U(5).
il faut calculer U(4) et faire f(U(4))
pour calculer U(4), il faut calculer U(3) et faire f(U(3))...
U(5)=f[f[f[f[f[U(0)]]]]]=f[f[f[f[f(0)]]]].
a+

merci beaucoup pour votre aide c super sympa vous êtes comme ca .