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Suite ( démonstration par récurrence

Posté par
Samsco
05-07-20 à 10:58

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

U est la suite définie par :

U_0=3~et~\forall n \in \mathbb{N} , U_{n-1}=\dfrac{1}{2}U_{n-1}-4

Démontrons par récurrence que :

a) La suite U est minorée par -6
B) La suite U est décroissante

Réponses

a) Soit Pn la proposition suivante : << U_n \geq -6 >>
* Vérifions que P0 est vrai.

U0=3 or 3 ≥ -6
donc U0 ≥ -6
d'où P0 est vrai

* Supposons que Pn est vrai et démontrons que Pn+1 est vrai

\forall n \in \mathbb{N},~U_n \geq -6
 \\ 
 \\ \dfrac{1}{2}U_n \geq -3
 \\ 
 \\ U_{n+1} \geq -7

Je bloque ici

Posté par
Yzz
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:02

Salut,

Pb d'indice dans ta définition de (un).
Pour ton hérédité :
Tu veux montrer que un+1 -6.
Or, tu as trouvé que un+1 -7.

Qu'est-ce qui te pose problème ?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:07

salut

Samsco @ 05-07-2020 à 10:58

Je bloque ici
comment peut-on penser travailler sérieusement en postant trois exercices en moins d'une heure et n'en finir aucun ... ni être impliqué dans un travail de recherche personnelle qui demande donc du temps (lecture de cours, d'exercices identiques déjà faits sur son cahier ou ici même sur l'ile, ...)

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:14

Yzz @ 05-07-2020 à 11:02

Salut,

Pb d'indice dans ta définition de (un).
Pour ton hérédité :
Tu veux montrer que un+1 -6.
Or, tu as trouvé que un+1 -7.

Qu'est-ce qui te pose problème ?


Est ce que Un ≥ -7 signifie que Un ≥ -6 ?

-6 ≥ -7

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:14

carpediem @ 05-07-2020 à 11:07

salut

Samsco @ 05-07-2020 à 10:58

Je bloque ici
comment peut-on penser travailler sérieusement en postant trois exercices en moins d'une heure et n'en finir aucun ... ni être impliqué dans un travail de recherche personnelle qui demande donc du temps (lecture de cours, d'exercices identiques déjà faits sur son cahier ou ici même sur l'ile, ...)


C'est la façon de travailler .

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:16

Samsco @ 05-07-2020 à 11:14


C'est ma façon de travailler .

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:55

Bonjour,

Comme l'écrit yzz, il y un problème d'indice dans la définition de (un)

A priori je lirais : un = \frac{1}{2}un-1 - 4
Mais si c'est bien cette relation, la suite n'est pas minorée par - 6

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 11:59

co11 @ 05-07-2020 à 11:55

Bonjour,

Comme l'écrit yzz, il y un problème d'indice dans la définition de (un)

A priori je lirais : un = \frac{1}{2}un-1 - 4
Mais si c'est bien cette relation, la suite n'est pas minorée par - 6


Oui c'est bien cette relation.

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:00

Et est ce que mon résultat ( Un ≥ -7 ) permets de de conclure que U n'est pas minorée par -6 ?

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:08

non
Et  tu peux faire beaucoup plus simple pour le prouver.

Mais :

Citation :
Démontrons par récurrence que :

a) La suite U est minorée par -6
B) La suite U est décroissante

C'est ce que te demande l'énoncé ou ça vient de toi ?

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:09

Pour la question b)

La suite U est décroissante si Un+1 ≥ Un
Soit Pn la proposition suivante : << U_{n+1} \leq U

* Vérifions que P0 est vrai

On a U0=3 et U_1=\dfrac{1}{2}U_0-4=-\dfrac{5}{2} or -5/2 ≤ 3
donc U1 ≤ U0

P0 est vrai

* Supposons que Pn est vrai et démontrons que Pn+1 est vrai

\forall n \in \mathbb{N} ,~~U_{n+1} \leq U_n
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{1}{2}U_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}U_n
 \\ 
 \\ \iff U_{n+2} \leq U_{n+1}

donc Pn+1 est vrai

On a démontré par récurrence que la suite U est croissante

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:13


C'est ce que te demande l'énoncé ou ça vient de toi


L'énoncé est tel que je l'ai recopié.

Sinon , démontrer que Un n'est pas minorée vient de moi

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:21

Bon, je ne suis intervenue que pour signaler le problème d'énoncé : si on te demande de montrer que la suite est minorée par - 6, tu n'y arriveras pas puisque c'est faux.
Pour autant, tu ne peux en déduire non plus qu'elle n'est pas minorée.

Donc énoncé à revoir. Et je suppose que tes premiers aidants reviendront poursuivre avec toi.

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:29

effectivement dans un cas aussi simple (suite arithmético-géométrique) pour lequel une récurrence suffit si celle-ci ne permet pas de conclure c'est que l'énoncé est faux ...

le vrai travail scientifique consiste alors à savoir ce qui se passe réellement !!!

on peut éventuellement passer par une démarche expérimentale : calculatrice ou tableur pour regarder ce qui se passe ... et le prouver !!!

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 05-07-20 à 12:39

D'accord c'est compris , c'est l'énoncé qui erroné alors.

Posté par
flight
re : Suite ( démonstration par récurrence 06-07-20 à 00:42

salut

avec les données initiales la suite converge plutôt vers  -8

Posté par
flight
re : Suite ( démonstration par récurrence 06-07-20 à 00:42

c'etait donc plutot  -8 que  -6  pour l'énoncé

Posté par
flight
re : Suite ( démonstration par récurrence 06-07-20 à 00:46

voici les 20 premieres valeurs pour Un :
-2,5
-5,25
-6,625
-7,3125
-7,65625
-7,828125
-7,9140625
-7,95703125
-7,978515625
-7,989257813
-7,994628906
-7,997314453
-7,998657227
-7,999328613
-7,999664307
-7,999832153
-7,999916077
-7,999958038
-7,999979019
-7,99998951

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 06-07-20 à 02:00

Ah d'accord je vois.

Sinon pour mon message du 05/07/20 à 12h 09 , est ce que c'est correct ?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 06-07-20 à 10:03

Samsco @ 05-07-2020 à 12:09


La suite U est décroissante si Un+1 ≥ Un  pour tout n
Soit Pn la proposition suivante : << U_{n+1} \leq U

* Vérifions que P0 est vrai  (pas nécessaire : le lecteur sait ... lire !!!)

On a U0=3 et U_1=\dfrac{1}{2}U_0-4=-\dfrac{5}{2}

or -5/2 ≤ 3 donc U1 ≤ U0  et P0 est vraie

* Supposons que Pn est vrai et démontrons que Pn+1 est vrai

\cancel {\forall n \in \mathbb{N} ,~}~U_{n+1} \leq U_n
 \\ 
 \\ \iff \dfrac{1}{2}U_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}U_n
 \\ 
 \\ \iff U_{n+2} \leq U_{n+1}  une simple implication suffit

donc Pn+1 est vraie

On a démontré par récurrence que donc d'après le principe /théorème/axiome de récurrence la suite U est croissante

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 00:29

carpediem @ 06-07-2020 à 10:03


* Vérifions que P0 est vrai  (pas nécessaire : le lecteur sait ... lire !!!)


Que voulez vous dire exactement?
Je n'ai fais que suivre les étapes de ce théorème qui demande de vérifier en première position que la proposition donnée est vrai rang premier.

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 09:07

pas nécessaire à écrire ... la suite et sa conclusion montre au lecteur que c'est ce que tu fais ...

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 16:32

Salut,
ce petit mot pour dire que la question B peut se traiter sans récurrence. Pas plus mal, ce n'est pas si facile de rédiger une récurrence. Et puis il y en avait déjà une en A .....

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 17:07

je suis curieux de voir cela ...

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 17:10

et pour revenir à la question 1/ :

carpediem @ 05-07-2020 à 12:29

effectivement dans un cas aussi simple (suite arithmético-géométrique) pour lequel une récurrence suffit si celle-ci ne permet pas de conclure c'est que l'énoncé est faux ...

le vrai travail scientifique consiste alors à savoir ce qui se passe réellement !!!

on peut éventuellement passer par une démarche expérimentale : calculatrice ou tableur pour regarder ce qui se passe ... et le prouver !!!


un vrai prolongement très riche est alors : en supposant que cette suite est minorée déterminer un minorant m (sans démarche expérimentale donc sans calculatrice ni rien mais par un raisonnement mathématique)

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 17:13

Pour tout n, Un+1 - Un = - \frac{1}{2} Un - 4
On peut donner le signe de cette expression en utilisant le A .... avec la bonne minoration bien sûr (par - 8)

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 17:45

Ah je n'avais pas vu ton message de 17h10.

oui, ce prolongement est tout à fait intéressant.

Par ailleurs, Samsco n'a pas traité cette question A, même avec - 8 donné pour minorant.
C'est quand même embêtant, car la récurrence qu'il avait commencé pose le même problème que l'autre. C'est surtout la partie hérédité qui démarre par : " n, Un ......" qui me dérange.

Je ne sais s'il y reviendra ....?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 19:34

oui c'est ce que je lui faisais déjà remarquer à 10h03

et oui pour la b) : je m'étais mélangé les pinceaux dans le sens des inégalités ...

Posté par
co11
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 20:15

Euh, j'ai cherché, mais je ne trouve pas où tu t'es emmêlé les pinceaux dans le sens des inégalités.
Ou j'ai mal lu ou c'est un autre post ?

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 21:36

Ok

carpediem @ 07-07-2020 à 17:10



un vrai prolongement très riche est alors : en supposant que cette suite est minorée déterminer un minorant m (sans démarche expérimentale donc sans calculatrice ni rien mais par un raisonnement mathématique)


Et comment je peux commencer parce que là , je n'en ai aucune idée

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 07-07-20 à 23:28

co11 : oui je disais que tu as raison : il n'y a pas besoin de récurrence et je me suis mélangé les pinceaux dans le sens des inégalités (calcul mental) d'où mon msg de 17h07 ...

Samsco : si on suppose que la suite est minorée alors supposons qu'elle soir minorée par m

donc le raisonnement par récurrence  que tu as mené dans ton premier post (qui sera cette fois exact pour la valeur m) va conduire à une condition sur m ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 08-07-20 à 21:33

Ok .

Soit Pk la proposition suivante : << \forall n \in \mathbb{N}~,~U_n \leq m

*U0=3  , à ce niveau , je suis obligé de supposer que P0 est vrai?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 09:13

attention on veut minorer !!

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 10:04

carpediem @ 09-07-2020 à 09:13

attention on veut minorer !!


Ah oui

Soit Pk la proposition suivante : << \forall n \in \mathbb{N}~,~U_n \geq m>>

U_0=3 \geq 2 \geq 1 \geq 0

Je suis libre de choisir la valeur que je veux pour minorer Un ?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 11:08

avec u_0 quelle condition sur m obtiens-tu ? ... (mais on s'en fout ... d'autant plus que l'on sait ensuite que la suite est décroissante)

carpediem @ 07-07-2020 à 23:28

Samsco : si on suppose que la suite est minorée alors supposons qu'elle soir minorée par m

donc le raisonnement par récurrence  que tu as mené dans ton premier post (qui sera cette fois exact pour la valeur m) va conduire à une condition sur m ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 15:29

carpediem @ 09-07-2020 à 11:08

avec u_0 quelle condition sur m obtiens-tu ? ... (mais on s'en fout ... d'autant plus que l'on sait ensuite que la suite est décroissante)

La condition , c'est m {0 ; 1 ;2 }

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 15:57

il n'y a pas que des entiers dans R ... et (donc) faux ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 19:41

m [0 ; 3[

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 09-07-20 à 19:57

bien insuffisant ... et c'est bien décevant quand on connait le résultat déjà donné plus haut ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 10-07-20 à 01:51

m ]-8 ; 3[

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ( démonstration par récurrence 10-07-20 à 09:06

Bonjour,
Deux remarques en passant sur

Citation :
Soit Pk la proposition suivante : << \forall n \in \mathbb{N}~,~U_n \geq m>>
Bizarre ce \; Pk \;\; k \; ne figure pas...
Et puis il faut perdre l'habitude d'écrire ce \; \forall n \in \mathbb{N} \; avant la conclusion finale d'une démonstration par récurrence.

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 10-07-20 à 12:07

bon va avancer un peu en résumant :

l'énoncé nous demande de montrer par récurrence que la suite est minorée par -6 ... or ceci est faux ou du moins on n'y arrive pas par récurrence

une étude numérique semble nous montrer que la suite est minorée par -8 (et on peut le montrer par récurrence)  (*)

oublions ce -8 pour l'instant et supposons que la suite est minorée et qu'on veut le montrer par récurrence ... et que ce raisonnement marche !!!

on suppose donc que m est un minorant de la suite : \forall n \in \N  : u_n \ge m

initialisation  :   il faut donc que ce soit vrai pour u_0 ... or   u_0 = 3 et u_0 \ge m donc nécessairement m \le 3 \iff m \in ]-\infty, 3] ...

mais dans une certaine mesure on s'en fout ... du moins dans un premier temps car ce qui compte c'est l'hérédité dans un raisonnement par récurrence

hérédité  :   elle doit donc être vraie puisque le raisonnement par récurrence doit marcher

on suppose donc que P(n)  :  u_n \ge m pour un (certain) entier n et on veut montrer que u_{n + 1} \ge m et puisque le raisonnement par récurrence doit être vrai en travaillant comme dans ton post initial on aboutit à une inégalité vérifiée par m  et qui nous permettra d'obtenir les valeurs valides de m et d'après (*) on aimerait mais on verra qu'un majorant des solutions est -8

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 13-07-20 à 21:45

D'accord

Un=(1/2)Un-1-4 => Un=(1/2)Un-4

_Heredité

U_n \geq m
 \\ 
 \\ \dfrac{1}{2}U_n \geq \dfrac{1}{2}m
 \\ 
 \\ U_{n+1} \geq \dfrac{1}{2}m-4 
 \\
Après ça , je fais quoi?

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 14-07-20 à 08:14

or la suite est minorée par m donc m/2 - 4> m <=> ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 14-07-20 à 19:32

<=> m/2-m-4 > 0
<=>-(1/2)m-4>0
<=> (1/2)m < -4
<=> m < -8

<=> m ]- ; -8[

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 14-07-20 à 20:43

oui avec des inégalités larges ...

par conséquent le raisonnement par récurrence sera valide pour tout m <= 8 ...

ce qui n'implique pas que la suite soit minorée par un nombre supérieur à 8 ... mais le raisonnement par récurrence ne pourra pas le montrer !!!

mais ici ça n'est pas le cas : 8 est la limite et borne inférieure de la suite ...

Posté par
Samsco
re : Suite ( démonstration par récurrence 14-07-20 à 20:45

Je crois que c'est terminé , Merci !

Posté par
carpediem
re : Suite ( démonstration par récurrence 14-07-20 à 20:47

de rien



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