Bonjour j'ai besoin de votre aide svp
Exercice :
U est la suite définie par :
Démontrons par récurrence que :
a) La suite U est minorée par -6
B) La suite U est décroissante
Réponses
a) Soit Pn la proposition suivante : << >>
* Vérifions que P0 est vrai.
U0=3 or 3 ≥ -6
donc U0 ≥ -6
d'où P0 est vrai
* Supposons que Pn est vrai et démontrons que Pn+1 est vrai
Je bloque ici
Salut,
Pb d'indice dans ta définition de (un).
Pour ton hérédité :
Tu veux montrer que un+1 -6.
Or, tu as trouvé que un+1 -7.
Qu'est-ce qui te pose problème ?
salut
Bonjour,
Comme l'écrit yzz, il y un problème d'indice dans la définition de (un)
A priori je lirais : un = un-1 - 4
Mais si c'est bien cette relation, la suite n'est pas minorée par - 6
non
Et tu peux faire beaucoup plus simple pour le prouver.
Mais :
Pour la question b)
La suite U est décroissante si Un+1 ≥ Un
Soit Pn la proposition suivante : <<
* Vérifions que P0 est vrai
On a U0=3 et or -5/2 ≤ 3
donc U1 ≤ U0
P0 est vrai
* Supposons que Pn est vrai et démontrons que Pn+1 est vrai
donc Pn+1 est vrai
On a démontré par récurrence que la suite U est croissante
Bon, je ne suis intervenue que pour signaler le problème d'énoncé : si on te demande de montrer que la suite est minorée par - 6, tu n'y arriveras pas puisque c'est faux.
Pour autant, tu ne peux en déduire non plus qu'elle n'est pas minorée.
Donc énoncé à revoir. Et je suppose que tes premiers aidants reviendront poursuivre avec toi.
effectivement dans un cas aussi simple (suite arithmético-géométrique) pour lequel une récurrence suffit si celle-ci ne permet pas de conclure c'est que l'énoncé est faux ...
le vrai travail scientifique consiste alors à savoir ce qui se passe réellement !!!
on peut éventuellement passer par une démarche expérimentale : calculatrice ou tableur pour regarder ce qui se passe ... et le prouver !!!
voici les 20 premieres valeurs pour Un :
-2,5
-5,25
-6,625
-7,3125
-7,65625
-7,828125
-7,9140625
-7,95703125
-7,978515625
-7,989257813
-7,994628906
-7,997314453
-7,998657227
-7,999328613
-7,999664307
-7,999832153
-7,999916077
-7,999958038
-7,999979019
-7,99998951
pas nécessaire à écrire ... la suite et sa conclusion montre au lecteur que c'est ce que tu fais ...
Salut,
ce petit mot pour dire que la question B peut se traiter sans récurrence. Pas plus mal, ce n'est pas si facile de rédiger une récurrence. Et puis il y en avait déjà une en A .....
et pour revenir à la question 1/ :
Pour tout n, Un+1 - Un = - Un - 4
On peut donner le signe de cette expression en utilisant le A .... avec la bonne minoration bien sûr (par - 8)
Ah je n'avais pas vu ton message de 17h10.
oui, ce prolongement est tout à fait intéressant.
Par ailleurs, Samsco n'a pas traité cette question A, même avec - 8 donné pour minorant.
C'est quand même embêtant, car la récurrence qu'il avait commencé pose le même problème que l'autre. C'est surtout la partie hérédité qui démarre par : " n, Un ......" qui me dérange.
Je ne sais s'il y reviendra ....?
oui c'est ce que je lui faisais déjà remarquer à 10h03
et oui pour la b) : je m'étais mélangé les pinceaux dans le sens des inégalités ...
Euh, j'ai cherché, mais je ne trouve pas où tu t'es emmêlé les pinceaux dans le sens des inégalités.
Ou j'ai mal lu ou c'est un autre post ?
Ok
co11 : oui je disais que tu as raison : il n'y a pas besoin de récurrence et je me suis mélangé les pinceaux dans le sens des inégalités (calcul mental) d'où mon msg de 17h07 ...
Samsco : si on suppose que la suite est minorée alors supposons qu'elle soir minorée par m
donc le raisonnement par récurrence que tu as mené dans ton premier post (qui sera cette fois exact pour la valeur m) va conduire à une condition sur m ...
Ok .
Soit Pk la proposition suivante : <<
*U0=3 , à ce niveau , je suis obligé de supposer que P0 est vrai?
avec u_0 quelle condition sur m obtiens-tu ? ... (mais on s'en fout ... d'autant plus que l'on sait ensuite que la suite est décroissante)
Bonjour,
Deux remarques en passant sur
bon va avancer un peu en résumant :
l'énoncé nous demande de montrer par récurrence que la suite est minorée par -6 ... or ceci est faux ou du moins on n'y arrive pas par récurrence
une étude numérique semble nous montrer que la suite est minorée par -8 (et on peut le montrer par récurrence) (*)
oublions ce -8 pour l'instant et supposons que la suite est minorée et qu'on veut le montrer par récurrence ... et que ce raisonnement marche !!!
on suppose donc que m est un minorant de la suite :
initialisation : il faut donc que ce soit vrai pour u_0 ... or et donc nécessairement ...
mais dans une certaine mesure on s'en fout ... du moins dans un premier temps car ce qui compte c'est l'hérédité dans un raisonnement par récurrence
hérédité : elle doit donc être vraie puisque le raisonnement par récurrence doit marcher
on suppose donc que pour un (certain) entier n et on veut montrer que et puisque le raisonnement par récurrence doit être vrai en travaillant comme dans ton post initial on aboutit à une inégalité vérifiée par m et qui nous permettra d'obtenir les valeurs valides de m et d'après (*) on aimerait mais on verra qu'un majorant des solutions est -8
oui avec des inégalités larges ...
par conséquent le raisonnement par récurrence sera valide pour tout m <= 8 ...
ce qui n'implique pas que la suite soit minorée par un nombre supérieur à 8 ... mais le raisonnement par récurrence ne pourra pas le montrer !!!
mais ici ça n'est pas le cas : 8 est la limite et borne inférieure de la suite ...
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