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Suite, démonstration par récurrence

Posté par
Alexis79 18-09-22 à 09:10

Bonjour j'aurai besoin d'aide je ne comprend pas bien la question 3 .Soit (Un) définie par Un+1=Un/(2+(Un)2) et de premier terme Uo=1
1) calculer U1, U2et U3
2) démontrer par récurrence que  n on a Un>0
3) démontrer par récurrence que Un1/2n
4)en déduire que 0<U5010-15

Pour la 1 pas de problème simplement à calculer à l'aide de la calculatrice Pour la 2 j'ai montrer que comme U0=1 alors pour déterminer le signe de Uk+1 on doit étudier 2+(Uk)2
Donc l'hypothèse est que Uk+1>0, Uk>0

(Uk)2>0

2+(Uk)2>2
Donc Uk+1>2>0 donc l'hypothèse est vrai
Pour la 3 je ne sais pas par où commencer et à où arriver je suis partis de Uk<\1/2k, et j'essaye d'arriver a Uk+1<\ 1/(2k+1) mais ça n'aboutît a rien je suis bloquer dessus.
Et enfin la 4 c'est simplement un encadrement pas de problème dessus
Si quelqu'un pourrait m'aider ça serai géniale.Merci beaucoup bonne journée.

Posté par
heklare : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 10:04

Bonjour

on suppose u_k\leqslant \dfrac{1}{2^k}

on construit u_{k+1}

on aboutit à u_{k+1}\leqslant \dfrac{1}{1+2^{k+1}}

d'où la proposition vraie

Posté par
carpediemre : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 10:11

salut

Alexis79 @ 18-09-2022 à 09:10

Pour la 1 pas de problème simplement à calculer à l'aide de la calculatrice   ben c'est bien dommage ...

Pour la 2 j'ai montrer que comme U0=1 alors pour déterminer le signe de Uk+1 on doit étudier 2+(Uk)2  c'est à dire ?
Donc l'hypothèse est que Uk+1>0, Uk>0      pas du tout !!
   une implication suffit  

(Uk)2>0
  une implication suffit
2+(Uk)2>2
Donc Uk+1>2>0 donc l'hypothèse est vraie   et ça m'étonnerait vu ce qui est demandé à la question suivante  

Pour la 3 je ne sais pas par où commencer et à où arriver je suis partis de Uk<\1/2k, et j'essaye d'arriver a Uk+1<\ 1/(2k+1) mais ça n'aboutît a rien je suis bloquer dessus.
c'est le même principe en 2/ (une minoration) et en 3/ (une majoration) seulement le traitement est à peine plus compliqué

j' t'invite donc à écrire proprement l'hypothèse de récurrence (la proposition à prouver) et à le traiter de la même façon dans les deux cas

Posté par
Alexis79re : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 10:52

hekla @ 18-09-2022 à 10:04

Bonjour

on suppose u_k\leqslant \dfrac{1}{2^k}

on construit u_{k+1}

on aboutit à u_{k+1}\leqslant \dfrac{1}{1+2^{k+1}}

d'où la proposition vraie



Merci de votre réponse
Cela veut dire que en partant de Uk1/2k je dois en travaillant l'expression aboutir à Uk+11/(1+2k+1) tout d'abord j'ai essayé mais je n'arrive pas à retombé sur l'expression que vous m'avez indiquez et ensuite en quoi cela va prouve mon hypothèse de récurrence qui est Uk+11/(2k+1) est elle fausse?
Merci

Posté par
Alexis79re : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 10:55

carpediem @ 18-09-2022 à 10:11

salut

Alexis79 @ 18-09-2022 à 09:10

Pour la 1 pas de problème simplement à calculer à l'aide de la calculatrice   ben c'est bien dommage ...

Pour la 2 j'ai montrer que comme U0=1 alors pour déterminer le signe de Uk+1 on doit étudier 2+(Uk)2  c'est à dire ?
Donc l'hypothèse est que Uk+1>0, Uk>0      pas du tout !!
   une implication suffit  

(Uk)2>0
  une implication suffit
2+(Uk)2>2
Donc Uk+1>2>0 donc l'hypothèse est vraie   et ça m'étonnerait vu ce qui est demandé à la question suivante  

Pour la 3 je ne sais pas par où commencer et à où arriver je suis partis de Uk<\1/2k, et j'essaye d'arriver a Uk+1<\ 1/(2k+1) mais ça n'aboutît a rien je suis bloquer dessus.
c'est le même principe en 2/ (une minoration) et en 3/ (une majoration) seulement le traitement est à peine plus compliqué

j' t'invite donc à écrire proprement l'hypothèse de récurrence (la proposition à prouver) et à le traiter de la même façon dans les deux cas


Merci de votre réponse,
Je crois ne pas trop comprendre ce que vous m'indiquez mon hypothèse de récurrence et correcte ou est elle à revoir? Si oui que dois-je changer? et qu'elle doit être mon point de départ, pour ensuite développer ma démonstration
Merci

Posté par
carpediemre : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 11:29

que veut-on montrer ?

quelle est alors la proposition P(n) ?

Posté par
heklare : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 11:34

Vous avez montré que u_n était positif  pour tout n

donc \left(u_n\right)^2+2 est supérieur à 2 pour tout n

en passant à l'inverse on a \dfrac{1}{(u_n)^2+2}\leqslant  \dfrac{1}{2}

je vous laisse terminer.

Posté par
carpediemre : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 11:36

pourquoi donner toujours la solution ?

Posté par
Alexis79re : Suite, démonstration par récurrence 18-09-22 à 11:57

hekla @ 18-09-2022 à 11:34

Vous avez montré que u_n était positif  pour tout n

donc \left(u_n\right)^2+2 est supérieur à 2 pour tout n

en passant à l'inverse on a \dfrac{1}{(u_n)^2+2}\leqslant  \dfrac{1}{2}

je vous laisse terminer.


Je vais me débrouiller avec ça j'y vois un peu plus claire merci! Bonne journée


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