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Suite et aire
Bonjour j'ai un petit problème sur un exercice.
Dans un premier temps, il s'agit d'étudier la fonction définie par f(x)=(ln x)/x. Elle est définie sur ]0;+oo[. J'ai trouvé qu'elle était croissante jusqu'à e et décroissante après. La limite de f en 0, c'est -oo et c'est 0 en +oo.
Le problème c'est que la suite de l'exercice se complique :
Pour tout entier n
3, on pose :
u_n=(ln 3)/3+(ln 4)/4+...+(ln n)/n.
Il faut maintenant donner une interprétation graphique de u_n puis comparer u_n avec 
f(x) dx. Sur l'intégrale il y a n+1 en faut et 3 en bas.
Voilà si vous pouviez m'expliquer comment faire, ça serait cool.
Merci d'avance.
salut
u(n)=(ln(3)/3)*1+(ln(4)/4)*1...+(ln(n)/n)*1
u(n) est la somme des aires de rectangles de largeur 1 et de longueur ln(i)/i i allant de 3 a n.
comparons maintenant :
par la relation de chasles on "decoupe l'integrale" de cette facon :
[3,n+1] f=[3,4] f + [4,5] f + ... + [n,n+1] f
tu as dis que f est decroissante sur [3,+inf[
donc pour x dans [i,i+1] i allant de 3 a n
on a f(i)>=f(x)>=0
donc [i,i+1] f(i)dx>=[i,i+1] f(x)dx>=0
donc f(i)* [i,i+1] dx>=[i,i+1] f(x)dx
donc [ln(i)/i]*1>=[i,i+1] f(x)dx
donc ln(i)/i>=[i,i+1] f(x)dx
i varie de 3 a n donc on a n-2 inegalites.
on fait la somme de ces n-2 inegalites
et on a u(n)>= [3,n+1] f
voila.
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