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suite et convergence

Posté par tonio (invité) 13-10-04 à 21:06

bonjour
on a U(n+1)=racine(3
Un)+4)
et Uo=0
on sait que Un est majore par 4 strictement croissante
la question est montrer que pour tout entier naturel n on a
4-U(n+1)>1/2*(4-Un)
etr il faut en deduire que Un converge et sa limite
merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite et convergence 14-10-04 à 15:07

Erreur d'énoncé.

U(n+1) = ?????????
parenthèses non équilibrées.

Posté par tonio (invité)re : suite et convergence 14-10-04 à 17:16

U(n+1)=racine(3Un+4)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite et convergence 14-10-04 à 17:36

Tu dis: on sait que Un est majorée par 4 et strictement croissante.

C'est suffisant pour conclure que la suite converge.

Soit L la limite vers laquelle la suite converge.
on a lim(n->oo) U(n) = lim(n->oo) U(n+1) = L

-> lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) V(3Un+4)
L = V(3L+4)
L² = 3L + 4
L² - 3L - 4 = 0

L = [3 +/- V(9+16)]/2
-> L = -1 ou L = 4
Mais on sait que U(n) >= 0 à cause de la racine carrée de U(n+1) = V(3Un+4)
-> L = 4

La suite converge vers 4.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Belge-FDLEre : suite et convergence 14-10-04 à 18:10

Salut à tous ,

Après avoir réaliser les "équations au point fixe", je me suis rendu compte que l'énoncé de Tonio devait être le suivant :

Soit (Un) la suite définie par :
2$\rm~\{{u_{n+1}~=~\sqrt{3u_n+4}\\u_0~=~0}
On sait que (Un) est majorée par 4...

Un simple raisonnement par récurrence suffit, si on veut le démontrer :
*INITIALLISATION : Au rang n=0, on a bien : 2$\rm~u_0~\leq~~4 puisque par hypothèse 2$\rm~u_0~=~0.
Ainsi, au rang n=0, la propriété est vérifiée.
*HÉRÉDITÉ : Suppossons la propriété vraie au rang n, càd que : 2$\rm~u_n~\leq~~4
Montrons que dans ce cas, la propriété est également vraie au rang "n+1", càd que : 2$\rm~u_{n+1}~\leq~~4.
Partons pour cela de notre hypothèse de récurrence :
2$\rm~u_n~\leq~~4
2$\rm~3u_n~\leq~~12
2$\rm~3u_n+4~\leq~~16
2$\rm~\sqrt{3u_n+4}~\leq~~\sqrt{16}
2$\rm~u_{n+1}~\leq~~4
Ce qui traduit que la propriété est vraie au rang "n+1".

CONCLUSION : a propriété est vraie au rang n=0 et est héréditaire, on a donc bien, pour tout 2$\rm~n~\in~~\mathbb{N} :
2$\rm~u_n~\leq~~4

... et est strictement croissante...

Là aussi, un simple raisonnement par récurrence suffit, si on veut le démontrer :
*INITIALLISATION : Au rang n=0, on a bien : 2$\rm~u_0~=~0 et 2$\rm~u_1~=~\sqrt{3\times0+4}~=~2 donc, 2$\rm~u_0~<~u_1.
Ainsi, au rang n=0, la propriété est vérifiée.
*HÉRÉDITÉ : Suppossons la propriété vraie au rang n, càd que : 2$\rm~u_n~<~u_{n+1}
Montrons que dans ce cas, la propriété est également vraie au rang "n+1", càd que : 2$\rm~u_{n+1}~<~u_{n+2}.
Partons pour cela de notre hypothèse de récurrence :
2$\rm~u_n~<~u_{n+1}
2$\rm~3u_n~<~3u_{n+1}
2$\rm~3u_n+4~<~3u_{n+1}+4
2$\rm~\sqrt{3u_n+4}~<~\sqrt{3u_{n+1}+4}
2$\rm~u_{n+1}~<~u_{n+2}
Ce qui traduit que la propriété est vraie au rang "n+1".

CONCLUSION : a propriété est vraie au rang n=0 et est héréditaire, on a donc bien, pour tout 2$\rm~n~\in~~\mathbb{N} :
2$\rm~u_n~<~u_{n+1}, ce qui signifie que (Un) est croissante.


Montrer que pour tout entier naturel naturel n, on a : 2$\rm~4-{u_{n+1}}~>~\frac{1}{2}(u_n-4)

Alors, on a vu que la suite était strictement croissante. Or 2$\rm~u_0~=~0. On en conclut facilement que pour tout entier naturel n, on aura 2$\rm~u_n~\geq~~0. (ceci nous servira bientôt).
Par hypothèse, on a vu que : 2$\rm~u_n~\leq~4.
Partons de cela :

2$\rm~4~\geq~~u_n
2$\rm~4u_n~\geq~~(u_n)^2
2$\rm~4u_n+8u_n+16~\geq~~(u_n)^2+8u_n+16
2$\rm~12u_n+16~\geq~~(u_n)^2+8u_n+16
2$\rm~4(3u_n+4)~\geq~~(u_n+4)^2
2$\rm~2\sqrt{(3u_n+4)}~\geq~~u_n+4
2$\rm~2u_{n+1}~\geq~~u_n+4
2$\rm~2u_{n+1}-8~\geq~~u_n-4
2$\rm~8-2u_{n+1}~\leq~~4-u_n
2$\rm~4-u_{n+1}~\leq~~\frac{1}{2}(4-u_n)

3$C.Q.N.F.P.D.
Ce qu'il ne fallait pas démontrer . Cependant, c'est juste. Alors soit ton prof s'est trompé en vous donnant l'énoncé. Soit c'est toi une fois de plus ... Je sais pas, c'est abusé quand même : vous avez trois lignes à recopier, pensez un peu aux correcteurs qui passent des heures à chercher des démonstrations indémontrables car fausses....

Bon, donc j'attend que tu me dises si c'est bien ce que j'ai démontré qu'il fallait démontrer .

À +

Posté par
Belge-FDLEre : suite et convergence 14-10-04 à 18:13

Finalement, le truc qui devait bientot servir, n'a pas servi du tout

Posté par tonio (invité)re : suite et convergence 14-10-04 à 18:55

merci beaucoupr
oui c'etait cela
je me suis trompe entre < et >
mais comment a partir de cette expression (celle que tu as demontre) tu peux trouve que Un converge et sa limite.
une derniere question : etudier la convergence de Vn=n^2*(4-Un)
c'est la derniere question de l'exo
merci

Posté par
Belge-FDLEre : suite et convergence 14-10-04 à 19:42

Re-Salut ,

Non, à partir de cette expression, je ne vois vraiment pas comment on pourrait montrer que (Un) converge. J'arrive juste à montrer que (Un) est majorée par 4, ce que l'on a déjà prouver.
Est-ce que tu n'as pas oublié d'autres données de l'exercice qui pourraient nous aider pour cette question?

Ensuite, par contre, pour ce qui est de ta deuxième question, c'est plus simple.
(Un) converge vers 4.
Donc 4-Un converge vers 0.
Donc n^2(4-Un) converge vers 0.
Donc Vn converge vers 0.

Voili, voilou

À +

Posté par tonio (invité)re : suite et convergence 14-10-04 à 20:46

l'enonce nous donne donc la suite U(n+1) et U0
1a) demontrer que un majore par 4 (c'est fait)
1b) demontrer que un est croissante (c'est fait)
1c) deduire que un converge et determiner sa limite
2a)montrer que 4-U(n+1)<1/2*(4-Un) (c'est fait)
2b) retrouver le resultat du 1c)
2c) etudier la convergence de la suite Vn=n^2(4-Un) (c'est fait)
voila tu as l'enonce complet
merci

Posté par
Belge-FDLEre : suite et convergence 14-10-04 à 21:07

Re-Salut ,

En fait, je pense voir ce que ton prof veut te faire marquer, bien que selon moi cela me semble insuffisant comme raisonnement. Enfn bon, je suis pas prof non plus .

En fait, grâce à la formule que j'avais démontré, tu peux retomber sur le fait que (Un) est majorée par 4. Et donc, comme on a prouvé précédemment que (Un) est croissante, tu en déduit à nouveau que (Un) converge vers 4.

Ceci ne me plait pas, car on s'est basé sur le fait que (Un) est majorée par 4 pour trouver la relation avec laquelle on va retomber sur le fait que (Un) est majorée par 4, ce qui n'est pas très logique... )
Le fait qu'une suite soit croissante et majorée par un réel ne veut pas forcémment dire qu'elle converge vers ce réel. En effet (Un) qui majorée par 4 est aussi majorée par 5, mais ce n'est pas pour cela qu'elle converge vers 5...

Enfin voilà, sinon personnellement, je ne vois pas d'autres manière de faire avec cette relation...

À +

Posté par tonio (invité)re : suite et convergence 14-10-04 à 21:30

et comment tu retrouve que Un est majore par 4??

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite et convergence 15-10-04 à 13:53

Et pourquoi pas ainsi:

U(n+1)=racine(3Un+4)

Supposons U(n) <= 4, on a alors U(n+1) <= racine(3*4+4)
U(n+1) <= racine(16)
U(n+1) <= 4

Donc si U(n) <= 4, on a aussi U(n+1) <= 4

Comme U(0) = 0 <= 4, on a aussi U(1) <= 4
Comme U(1) = 0 <= 4, on a aussi U(2) <= 4
et ainsi de proche en proche U(n) <= 4 pour tout n de N.

Donc la suite Un est majorée par 4.
-----



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