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Suite et exponentielle TS

Posté par Seth (invité) 18-11-06 à 14:42

Bonjour à tous!
J'ai un petit problème avec qq questions de mon devoir de maths.

Voilà,
- Pour tout n de N, on a Un(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ... +\frac{x^n}{n!}
Et Vn(x)=Un(x)+\frac{x^n}{n!}

On cherche à montrer que Vn(x) est strictement décroissante à partir de n > 2x - 1.

J'ai trouvé en calculant Vn+1 - Vn:

Vn+1-Vn=\frac{2x (puissance)(n+1)}{(n+1)!}+\frac{x^n}{n!}
=\frac{n!(2x (puissance)(n+1)-x^n(n+1)}{n!}
=\frac{2x(puissance)(n+1)-nx^n-x^n}{(n+1)!}=0

Je devrais trouver un nombre négatif et non pas 0, qu'est ce que ne va pas ?

- Pour tout x > 0, on note exp (x) la limite de la suite Un (x) et on s'intéresse à la fonction f(x) = exp (x)

On me demande d'écrire exp (x) avec le symbole \Sigma de deux manières différentes.

J'ai trouvé (par rapport à la suite Un (x) ), \Sigma \frac{x^p}{p!} de p=0 à n, mais pour la 2ème solution je ne vois pas ...

- Puis justifier que (exp(x))' = exp (x).

J'ai aussi deux autres questions où je bloque.

- Montrer que lim (n en + inf) Vn (x) - Un (x) = 0

Je sais que Vn(x)-Un(x)=\frac{x^n}{n!}>0 Mais cà conduit à une indetermination et je ne vois pas comment la lever ?

- et justifier que lim (x en + inf) \frac{e^x}{x^n}=+\infty
On me donne comme indicaton justifier exp (x) > Un+1(x)

Mais j'ai démontrer avant que Un (x) était croissante en faisant Un(x)-Un+1(x)<0.

Alors je ne sais pas quoi faire ...

Merci de votre aide ...

Posté par
Justinre : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:48

Je ne vois pas comment une telle suite peut être décroissante car tous les termes sont positifs et U(n+1) = U(n) + x^(n+1)/(n+1)! avec x^(n+1)/(n+1)! positif.

Qu'en pensez-vous?

Posté par
fusionfroidere : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:58

Salut

3$\textrm V_{n+1}(x)-V_n(x)=U_{n+1}(x)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}-U_n(x)-\frac{x^n}{n!}

3$\textrm V_{n+1}(x)-V_n(x)=2\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x^n}{n!}

3$\textrm V_{n+1}(x)-V_n(x)=\frac{2x^{n+1}-(n+1)x^n}{(n+1)!}

Sauf erreurs.

Posté par
Youpire : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:58

3$ V_n=U_n+\frac{x^n}{n!}

3$ V_{n+1}=U_{n+1}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
donc
3$ V_{n+1}-V_n=U_{n+1}-U_n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x^n}{n!}

3$ V_{n+1}-V_n=U_{n+1}-U_n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x^n}{n!}

or 3$ U_{n+1}-U_n=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}

donc 3$ V_{n+1}-V_n=\frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{x^n}{n!}

3$ V_{n+1}-V_n=\frac{2x^{n+1}-(n+1)x^n}{(n+1)!}

3$ \fbox{V_{n+1}-V_n=\frac{x^n(2x-(n+1))}{(n+1)!}}

il te reste à conclure

Posté par
Youpire : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:58

Encore grillée sur le fil decidémement c'est pas mon jour !

Posté par
fusionfroidere : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:58

Joli Latex Youpi

Posté par
fusionfroidere : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:59

4 posts dans la même minute

Posté par
Youpire : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 14:59

Au moins on trouve la même chose !

Posté par
fusionfroidere : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 15:01

Oui c'est rassurant...surtout lorqu'on s'applique pour faire de jolies formules

Posté par
Youpire : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 15:09

Je viens de me rendre compte que j'ai oublié de mettre que  Un et Vn étaient des fonctions de x (Un(x) et Vn(x))    

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 15:14

Citation :
Je viens de me rendre compte que j'ai oublié de mettre que  Un et Vn étaient des fonctions de x (Un(x) et Vn(x))    


C'est pas très grave j'avais quand meme compris !

Merci pour cet éclaircissement, je n'avais pas eu cette idée de factorisation, maintenant c'est bon j'ai montré quelle était bien décroissante.

Et pour les autres questions que je n'ai pas réussi à résoudre vous avez des idées ? ? ?

Merci encore ...

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 18-11-06 à 17:54

S'il vous plait ...

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 19-11-06 à 12:07

Up

Posté par
fusionfroidere : Suite et exponentielle TS 19-11-06 à 12:08

Re,

Quelle question précisement ?

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 19-11-06 à 12:16

bonjour,

Je cherche toujours la 2ème façon pour écrire exp(x) avec \sigma

Je ne sais pas comment justifier que (exp(x))' = exp (x).

Montrer que lim (n en + inf) Vn (x) - Un (x) = 0 (voir 1er post pour le début de réflexion)

Et justifier que lim (x en + inf) \frac{e^x}{x^n}= + \infty
On me donne comme indicaton justifier exp (x) > Un+1(x)
(voir aussi 1er post)

Merci

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 19-11-06 à 20:38

up

Posté par Seth (invité)re : Suite et exponentielle TS 20-11-06 à 19:09

up

Posté par Seth (invité)Démonstration d'une propriété 23-11-06 à 19:26

Bonjour,

On me demande de justifier que lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^n}=+ \infty

On me donne comme indication justifier que e^x > U_{n+1}(x)
U_{n+1}(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+ ... +\frac{x^n}{n!}+ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}

J'ai justifier l'indication mais je ne vois pas en quoi cela m'aide pour montrer la priorité ...

Merci de votre aide

*** message déplacé ***

Posté par Seth (invité)re : 23-11-06 à 19:41



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