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Suite et fonction logarithme

Posté par
Sarahhsn
13-03-16 à 15:32

Bonjour,  j'ai besoin d'aide pour une question d'exercice :

On considère la fonction f définie sur R+ par :
f(x) = { x^2-xln(x)-1 si x>0
               -1 si x=0

Question : Justifier que pour tout entier naturel n, il existe un unique réel Un positif tel que : f(Un) = n

Quelle méthode dois-je suivre pour traiter ce type de question ? Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 15:36

Bonjour, étudie les variations de la fonction et tu en déduiras en combien de points elle coupe une droite horizontale d'équation y=n

Posté par
Sarahhsn
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:25

Je trouve que f coupe la droite d'équation y=n en un point, c'est suffisant pour répondre à la question ? Ou faut-il justifier davantage?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:26

oui c'est bien. Si tu as montré que la fonction était strictement croissante et coupait donc y=n en un seul point, ça répond à la question.

Posté par
Sarahhsn
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:34

En dressant le tableau de variation, je trouve que f est décroissante avant x=√8/4 et ensuite croissante

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:38

ha non, elle est monotone croissante tout le temps.
Suite et fonction logarithme

tu as dû te tromper dans la dérivée, f '(x)= 2x-ln(x)-1 est toujours positive

Posté par
Sarahhsn
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:41

la dérivée de x^2-xln(x)-1 n'est-elle pas (2x^2-1)/x ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 16:44

non
pour dériver x ln(x) il faut dériver comme un produit uv donc en u'v+v'u
ce qui donne ln(x) + x(1/x) = ln(x) + 1

la dérivée globale est donc f '(x) = 2x -(ln(x)+1) = 2x- ln(x)-1

Posté par
Sarahhsn
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 17:28

Du coup, je trouve que f est décroissante avant x=1/2 et croissante ensuite

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et fonction logarithme 13-03-16 à 19:46

tu as vraiment regardé le graphe ?



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