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Suite et fonction , merci beaucoup.

Posté par Emmanuelle7 (invité) 15-02-05 à 17:32

Bonjour ,
alors voila l'exercice , j'ai répondu à la plupart des questions mais je veux être certaine

on a la fonction f(x)= x / lnx , definie sur ]1;+oo[
1)a)Etudiez les variations ,  j'ai trouvé ln x comme dérivé et dc ke la fonction était croissante ??
2) les limites : 0 en 1 et +oo en +oo ???? c'est bon ?
3) démontrer que pr tout entier x>e f(x)>e ? et la j'y arrive pas ?
B) on Un definie par U0=a avec a > e et U(n+1)=f(Un).
1) démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n ,Un>e ?
2)Démontrez que la suite (Un) est décroissante ? Je calcule U(n+1)-Un mais je n'arrive pas a trouver.
3) Déduisez alors des questoins précedentes que la suite (Un) converge vers L. Précisez L.

Merci d'avance pour votre aide ,
A bientot , Amaryllis.

Posté par
Nightmarere : Suite et fonction , merci beaucoup. 15-02-05 à 17:48

Bonjour

1)a)Comment trouves-tu cette dérivée ? car elle est fausse ..

2) Personnelement je trouve +\infty en 1^{+}

3)x>e => ln(x)>1 donc \frac{x}{ln(x)}>\frac{e}{1}=e

soit
x>e\Longrightarrow f(x)>e

B) 1)
U_{0}=a>e

Si la propriété est vrai au rang n ,alors :
U_{n}>e
donc
ln\(U_{n}\)>1
d'ou
\frac{U_{n}}{ln\(U_{n}\)}>e
soit
U_{n+1}>e
ie la propriété est vrai au rang n+1 donc par récurrence la propriété est vrai .

Posons le quotient :
\frac{U_{n+1}}{U_{n}}
On a :
\frac{U_{n+1}}{U_{n}}=\frac{1}{ln\(U_{n}\)}
or d'aprés 1) , U_{n}>e donc ln\(U_{n}\)>1
d'ou
\frac{1}{ln\(U_{n}\)}<1

on en déduit :
\frac{U_{n+1}}{U_{n}}<1
donc
U_{n+1}<U_{n}

La suite est donc décroissante

3)on en déduit d'aprés 1 et 2 que U converge vers e


Jord

Posté par Emmanuelle7 (invité)oups !! dsl pr la derivée 15-02-05 à 17:54

Désolé jme suis trompé pour la dérivée , c'est plutot
f'(x) = (ln x -1)/(ln x)² non ???
dc f est decroissante sur ]1 , e[ et croissante sur
]e , +oo[ ???
Merci pour le reste , pour dire que Un est décroissante j'étais mal parti javais commencé avec Un+1 - Un , et je me rapellais plus de cette méthode
Merci , Amaryllis


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