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Suite et inéquation - Démonstration par récurrence

Posté par
Telmi
03-09-20 à 18:46

Bonjour ,
J'ai un exercice qui me demande deux question mais pour chacune d'entre elle je ne sais pas comment m'y prendre. Voici l'énoncé;

Soit a appartenant à [0;1], on définit la suite u(n) par u(0)=a et pour tout n appartenant à l'ensemble N,
u(n+1) = 3u(n) (1 - u(n) )

1) Montrer que, pour tout x appartenant à [0;1], x(1-x) =<1/4

2) Démontrer que, pour tout n appartenant à l'ensemble N, u(n) appartient à [0;1]

Pour la première étant donne que l'on doit démontrer pour tout réel entre 0 et 1 inclus je ne vois pas comment faire

Pour la seconde je pense qu'il faut utiliser la récurrence étant donné que l'on va utiliser seulement l'ensemble des entiers naturels mais pareil je vois même pas comment m'y prendre.

Merci d'avance pour l'aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:55

Bonjour,
pour la première question, il te suffit d'étudier la fonction x(1-x)-1/4 entre 0 et 1
(une parabole tournée vers le bas, il te suffit de trouver son maximum)

Pour la seconde, oui tu peux faire une récurrence, sers toi de la première question, après initialisation montre que si Un est entre 0 et 1 alors Un+1 l'est aussi.

Posté par
Telmi
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 03-09-20 à 19:52

Merci bien mais j'ai quand même du mal, pour la question 1 pas de soucis j'ai fait des dérivés pour ensuite faire un tableau de dérivation et je trouve bien le bon résultat qui est que x(1-x) =< 1/4

Mais c'est pour la seconde partie que je ne comprends pas bien, voici ce que j'ai fait pour l'instant;

Montrons par récurrence que pour tout n de N u(n) appartient à [0;1]. Soit P(n): u(n) appartenant [0;1]

Montrons que P(0) est vrai, soit u(0)= a or a appartient à [0;1] par conséquence u(0) appartient à [0;1]

Et la je bloque, je vois pas comment "expliciter" P(n+1), donc ça voudrait dire quoi, dire que P(n+1) équivaudrait à savoir si 3u(n) (1-u(n)) appartient à [0;1]

Posté par
Telmi
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 03-09-20 à 21:38

Je ne sais pas si c'est autorisé, sinon qu'un modo me le dise mais je up le sujet car j'y suis toujours pas arrivé x)

Posté par
Kernelpanic
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 03-09-20 à 23:56

Bonsoir Telmi,

en l'absence de Glapion : oui, c'est ce qu'il faut montrer étant donné que tu connais l'expression de u(n+1). Il faut utiliser ta première question pour conclure.

Posté par
Telmi
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 04-09-20 à 00:09

oui c'est bon merci, j'ai fait un encadrement entre 0 et 1 j'ai utilisé la première formule puis fait une équivalence en multipliant par 3 et en remplaçant donc ça donne le bon résultat merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et inéquation - Démonstration par récurrence 04-09-20 à 07:22

Bonjour,
Tout d'abord, une remarque sur 1).
Ce qui a pu te gêner, c'est le [0;1] qui ne sert à rien puisque l'inégalité est vraie pour tout x réel.
Une méthode à toujours tenter pour démontrer une inégalité non immédiate de la forme A B :
Chercher à déterminer le signe de la différence B-A.
Ici, cette différence est une identité remarquable.
1/4 - x(1-x) = x2 - x + 1/4 = (x- 1/2)2
Trouver le signe (sans dérivées ) n'est pas très compliqué...

Sinon (toujours sans dérivée), tu pouvais utiliser la forme canonique du polynôme x(1-x).

Pour la 2), je ne vois pas bien de quelle équivalence tu parles.

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