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Suite et intégrale ...

Posté par
Dri 24-05-09 à 16:11

Bonjour,

j'ai la suite In définie par: In= e-t² / (1+n+t) dt.

J'ai déjà montré que cette suite est décroissante et positive.

On me demande de montrer que pour t [0;1] on a (e^(-t²)) / (1+n+t) 1 / (n+1).

Je dois ensuite en déduire que 0In 1/(n+1), puis en conclure quelquechose quant à la convergence de In.

Je sais pas du tout comment m'y prendre ><.
Merci d'avance !

Posté par
cailloux Correcteurre : Suite et intégrale ... 24-05-09 à 16:44

Bonjour,

Si t\in[0,1], e^{-t^2}\leq 1 puisque -t^2\leq 0

et 0\leq \frac{1}{1+n+t}\leq \frac{1}{n+1} (par décroissance de la fonction inverse sur ]0,+\infty[)

On en déduit 0\leq \frac{e^{-t^2}}{1+n+t}\leq \frac{1}{n+1}

qu' il suffit d' intégrer sur [0,1] pour obtenir:

0\leq I_n\leq \frac{1}{n+1}

et les gendarmes font le reste pour la limite...


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