Bonjour, j'aimerais de l'aide pour terminer cet exercice. Merci
PROBLEME
Pour tout x [0 ; +
[, on pose
: (On ne cherchera pas à calculer F(x))
Partie A
Soit f la fonction définie sur par
1-Calculer la limite de f en + et en -
Je trouve = 0 et
= +
2- Etudier le sens de variation de f puis établir son tableau de variation
Partie B
1-Etudier le sens de variation de F sur [0 ; +[.
j'ai dit F'(x) = f(x), alors le signe de F'(x) est celui de f(x)
f est continue et strictement décroissante sur ]0 ; +[, f(]0 ; +
[) = ]0 ; ln2[ alors
x
]0 ; +
[ f(x) > 0 donc F'(x) > 0
par ailleurs F'(x) 0 sur [0 ; +
[ donc F est croissante sur [0; +
[ (merci de me corriger ici)
2-Soit a un réel strictement positif.
a- Démontrer que pour tout t [1;1+a], on a :
J'ai fait
b- En déduire que :
on a
3-a- Justifier en utilisant la question 2) que x > 0,
J'ai posé a = donc 1+a = 1+
quand je remplace dans je trouve
3-b) En déduire que :
Quand je calcule les intégrales je trouve
4-a) Démontrer que la fonction F admet une limite finie L en +
on sait que alors F(x)
F étant croissante et majorée alors elle admet une limite finie L
4-b) Établir que :
on a :
J'aimerais des corrections pour ces 2 premières parties
Salut,
Il manquerait juste la preuve des variations de f (A2) ; et par ailleurs pour le signe de F' = f (B1), c'est plus "élégant" en disant que pour tout réel t , e-2t > 0 donc 1 + e-2t > 1 donc ln(1 + e-2t) > 0.
Ok
A-2) j'ai trouvé f'(x) =
x
[ 0 ; +
[, e-2x > 0 et 1 + e-2x > 0 donc f'(x) < 0
d'ou f est continue et strictement décroissante sur [ 0 ; + [
Ok voici la dernière partie
PARTIE C
Pour tout entier naturel n, on pose =
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0
2. Déterminer la limite de la suite (Un).
3. Pour tout entier naturel n, on pose
a- Exprimer Sn à l'aide de F et n
b-Justifier que la suite (Sn) converge
Je ne vois pas trop comment faire la première question.
Ah d'accord
On a t [n ; n+1]
n
t
n+1
f(n+1)
f (t)
f(n) car la fonction f est strictement décroissante sur
f(t)
après quand j'ai intégré j'ai obtenu les résultats. Merci beaucoup
2-Limite
Je trouve 0
Je bloque sur le 3-a
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