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Suite et Intégrale

Posté par
pfff 10-06-20 à 07:29

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour terminer cet exercice. Merci

PROBLEME

Pour tout x [0 ; +[, on pose F(x) = \int_{0}^{x}{ln(1+e^-^2^t)}dt : (On ne cherchera pas à calculer F(x))

Partie A

Soit f la fonction définie sur par f(x) = ln(1+e^-^2^x)

1-Calculer la limite de f en + et en -
Je trouve \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 et \lim_{x\to -\infty} f(x) = +

2- Etudier le sens de variation de f puis établir son tableau de variation

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&&+\infty \\{signe}&&&-&&&& \\{variation}&&&\searrow &&&&\end{array}

Partie B

1-Etudier le sens de variation de F sur [0 ; +[.
j'ai dit F'(x) = f(x), alors le signe de F'(x) est celui de f(x)
f  est continue et strictement décroissante sur ]0 ; +[, f(]0 ; +[) = ]0 ; ln2[ alors x ]0 ; +[ f(x) > 0 donc F'(x) > 0
par ailleurs F'(x) 0 sur [0 ; +[ donc F est croissante sur [0; +[ (merci de me corriger ici)

2-Soit a un réel strictement positif.

a- Démontrer que pour tout t [1;1+a], on a : \dfrac{1}{1+a} \leq \dfrac{1}{t} \leq 1
J'ai fait

b- En déduire que : \dfrac{a}{1+a} \leq ln(1+a) \leq a

on a \dfrac{1}{1+a} \leq \dfrac{1}{t} \leq 1\int_{1}^{1+a}{\dfrac{1}{1+a}}\leq \int_{1}^{1+a}{\dfrac{1}{t}} \leq\int_{1}^{1+a}{1}
                                             \dfrac{a}{1+a} \leq ln(1+a) \leq a

3-a- Justifier en utilisant la question 2) que x > 0, \int_{0}^{x}{\dfrac{e^-^2^t}{1 + e^{-2t}}}dt\leq F(x) \leq \int_{0}^{x}{e^{-2t}}dt

J'ai posé a = e^{-2t} donc 1+a = 1+e^{-2t}

quand je remplace dans \dfrac{a}{1+a} \leq ln(1+a) \leq a je trouve


3-b) En déduire que : \frac{1}{2}ln2 - \frac{1}{2}ln(1+e^{-2t}) \leq F(x) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t}
Quand je calcule les intégrales je trouve

4-a) Démontrer que la fonction F admet une limite finie L en +
on sait que F(x) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t} alors F(x) \frac{1}{2}

F étant croissante et majorée alors elle admet une limite finie L

4-b) Établir que : \frac{1}{2}ln2 \leq L \leq \frac{1}{2}

on a :
\frac{1}{2}ln2 - \frac{1}{2}ln(1+e^{-2t}) \leq F(x) \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t}
\lim_{x\to +\infty} (\frac{1}{2}ln2 - \frac{1}{2}ln(1+e^{-2t})) \leq \lim_{x\to +\infty}F(x) \leq \lim_{x\to +\infty}(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t}) \frac{1}{2}ln2 \leq L \leq \frac{1}{2}

J'aimerais des corrections pour ces 2 premières parties

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 10-06-20 à 08:11

Salut,

Il manquerait juste la preuve des variations de f (A2) ; et par ailleurs pour le signe de F' = f (B1),  c'est plus "élégant" en disant que pour tout réel t , e-2t > 0 donc 1 + e-2t > 1 donc ln(1 + e-2t) > 0.

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 10-06-20 à 08:27

Ok

A-2) j'ai trouvé f'(x) = \frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}

x [ 0 ; + [, e-2x > 0 et 1 + e-2x > 0 donc f'(x) < 0
d'ou f est continue et strictement décroissante sur [ 0 ; + [

Citation :
F' = f (B1),  c'est plus "élégant" en disant que pour tout réel t , e-2t > 0 donc 1 + e-2t > 1 donc ln(1 + e-2t) > 0.

Ok merci

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 10-06-20 à 10:17

De rien    

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 03:39

Ok voici la dernière partie

PARTIE C

Pour tout entier naturel n, on pose   U_n = \int_{n}^{n+1}{f(t)}dt

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 U_n ln(1+e^{-2n})


2. Déterminer la limite de la suite (Un).

3. Pour tout entier naturel n, on pose S_n = U_0 + U_1 + U_2 + ...... + U_n

   a- Exprimer Sn à l'aide de F et n
  b-Justifier que la suite (Sn) converge
  

Je ne vois pas trop comment faire la première question.

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 06:30

Utilise le fait que f est décroissante sur [n;n+1] : on a alors f(t) ...

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 07:27

Ah d'accord

On a t [n ; n+1] n t n+1
                                       f(n+1) f (t) f(n) car la fonction f est strictement décroissante sur
                                       ln(1+e^{-2(n+1)}) f(t) ln(1+e^{-2n})

après quand j'ai intégré j'ai obtenu les résultats. Merci beaucoup


2-Limite
Je trouve 0

Je bloque sur le 3-a

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 08:12

Ecris ce que donne U_0 + U_1 + U_2 + ...... + U_n.

Petit rappel : \int_{a}^{b}{f(t)}dt   +   \int_{b}^{c}{f(t)}dt   =   \int_{a}^{c}{f(t)}dt

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 21:39

U_0 + U_1 + U_2 + ...... + U_n. = \int_{0}^{1}{f(t)}dt + \int_{1}^{2}{f(t)}dt + \int_{2}^{3}{f(t)}dt + ..... + \int_{n}^{n+1}{f(t)}dt

Lorsque j'applique

Citation :
\int_{a}^{b}{f(t)}dt   +   \int_{b}^{c}{f(t)}dt   =   \int_{a}^{c}{f(t)}dt


S_n = \int_{0}^{n+1}{f(t)}dt
      = \int_{0}^{n}{f(t)}dt + \int_{n}^{n+1}{f(t)}dt                                                                                                        
      = F(n) + U_n

Je trouve U_n dedans je vois pas comment l'enlever

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 22:26

Si F(n) = \int_{0}^{n}{f(t)}dt , alors   \int_{0}^{n+1}{f(t)}dt = F(n+1)    

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 22:32

Ah d'accord j'avais pas remarqué ça, donc je m'arrête à F(n+1) merci

Posté par
pfffre : Suite et Intégrale 11-06-20 à 22:35

De plus comment je peux montrer que (Sn) converge sans utiliser la limite ?

Posté par
Yzzre : Suite et Intégrale 12-06-20 à 06:35

Si (Sn) était  croissante et majorée, par exemple, cela suffirait.


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