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Suite et limite

Posté par
krn64253
21-10-23 à 09:38

Bonjour,

j'ai un exo sur les suites et je bloque merci à celui ou celle qui voudra bien m'aider

Voila l'enoncé :

soit Un la suite definie pour tout n par U(n+1)=0.4U(n)²-0.4U(n)+1.1 avec Uo=-1

1a. Il existe une fonction f definie sur R tel que U(n+1)=f(Un)
determiner f(x)

1b. etudier les variations de f sur R

2.a/ montrer par recurrence que pr tout n>=1 : 1<=U(n+1)<=U(n)<=2

2b/ que peut on en deduire pour la suite U(n)

3/ determiner la limite U(n)

Voila ou j'en suis :
1a/ f(x)=0.4x²-0.4x+1.1

1b/ je derive f et trouve f'=0.8x-0.4
et je trouve que f est décroissante sur ]-inf;1/2] et croissante sur [1/2;+inf[

2a/je pose p(n) 1<=U(n+1)<=U(n)<=2
je calcul u1=1.9 , u2=1.784, je fais l'initialisation...et trouve que 1<=u2<=u1<=2 donc p(1) est vraie
puis l heredite:
f(1)<=fU(n+1)<=fU(n)<=f(2)
0.4*1²-0.4*1+1.1=1.1<=U(n+2)<=U(n+1)<=0.4*2²-0.4*2+1.1=1.9
dc
1.1<=fU(n+2)<=U(n+1)<=2
dc propriete hereditaire...puis conclusion

2b/ que conclure pour cette suite
que celle ci est decroissante et minorée par 1? Est ce cela?

3/ comment determiner la limite de la suite?

merci pr votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:32

Bonjour,
Je n'ai pas tout lu, mais répond pour 3/ :
Si L est la limite de un, c'est aussi la limite de un+1.
Or un+1 = 0,4un2-0,4un+1,1

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:35

oui ok mais apres comment je fais?
je dois resoudre l=04l²-0.4l+1.1 c'est ca?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:48

Oui. Utilise plutôt L majuscule pour la limite.

Et aussi :
Pour les exposants et les indices, il y a les boutons \; "X2" \; et \; "X2" \; sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:53

ok désolée
La je trouve 2 valeurs :
une à 1.19 et l autre à 2.30
je dis donc que la limite de cette suite est 1.19 car 2.30>2 car ma suite doit être entre [1 et 2]. C'est ca?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:54

1) et 2)b) OK.
Pour 2)a), tu n'as pas détaillé la rédaction.
Il faut écrire clairement pourquoi on a

Citation :
f(1)<=fU(n+1)<=fU(n)<=f(2)

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:54

et une dernière question :
pour la question 2b, la suite est décroissante minorée par 1 majorée par 2. la suite est convergente, c'est bien ca?
merci pour ton aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:55

Donne des valeurs exactes pour les solutions.
Si les termes sont compris entre 1 et 2, alors la limite aussi.

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 10:58

pour le 2a
je part de l hypothèse de récurrence à savoir
1<=U(n+1)<=U(n)<=2
d'où f(1)<=fU(n+1)<=fU(n)<=f(2)

c'est cela qu'il faut noter?

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:00

je ne comprends pas comme valeurs exacte pour la limite j'ai L1=2.30 et L2=1.19.
L1 ne peut pas convenir car >2.
donc pour moi la seule limite est 1.19
ou dois je dire que la limite est entre 1.19 et 2]?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:23

Comment trouves-tu ces valeurs 1,19 et 2,3 ?

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:26

j ai résolu l'équation 0.4L²-1.4L+1.1=0, delta etant positif j ai 2 solutions : 1.19 et 2.3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:41

2,3 n'est pas solution. C'est une valeur approchée.
Que trouves-tu pour ?

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:50

je trouve (1.4-(1/5))/0.8

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 11:51

non pardon je trouve (1/5)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 12:06

Tu trouves = 1/5.
Il y aura donc du (1/5) dans les deux solutions.
Les valeurs approchées peuvent servir pour voir laquelle des deux convient comme limite.
Mais le résultat doit être donné avec une valeur exacte.

Pour que ce soit plus simple, commence par transformer l'équation pour avoir des coefficients entiers.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 12:32

Je m'absente pour l'heure du déjeuner.

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 12:35

oui j ai L1=1.4-((1/5))/0.8 et L2=1.4+((1/5))/0.8

Bon appétit

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 12:38

Salut, Un bon truc pour visualiser comment cette suite évolue est de dessiner la fonction et les évolutions de Un par rebonds sur la courbe et la droite y = x.

ici on voit tout de suite que la suite va assez vite être décroissante et tendre vers la limite que tu as trouvée.

Suite et limite

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et limite 21-10-23 à 14:45

Je m'absente à nouveau.
Bonne après midi à tous les deux, et à ce soir peut-être.

Posté par
krn64253
re : Suite et limite 21-10-23 à 16:49

merci pour l'astuce



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