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suite et pgcd spé math
bonjour, voila jai un execice pour demin, je suis completement bloqué je ne comprend rien, ou presque.
voici l'exercice.
1: Calculer le PGCD de 4^5 -1 et 4^6 -1
jai trouvé 3.
Soit U la suite numérique définie par U(0)=1 , U(1)=1, pour tout entier n, U(n+2)=5U(n+1)-4U(n)
2: calculer U(2), U(3) et U(4)
jai trouvé U(2)=5
U(3)=21 et U(4)=85
3: a) montrer que la suite u verifie, pour tout entier naturel n , U(n+1)=4U(n)+1
b) montrer que pour tout entier naturel n, U(n) est un entier naturel.
c) en deduire, pour tout entier naturel n, le PGCD de U(n) et U(n+1)
4: soit v la suite définie ^pour tout entier naturel n par V(n)=U(n)+ 1/3
a) montrer que v est une suite géométrique dont on determinera la raison et premier terme V(0)
b) exprimer V(n) puis U(n) en fonction de n
c) determiner, pour tout entier naturel n, le PGCD de 4^(n+1) - 1 et de 4^n -1
je suis completement perdue je voudrais bien un coup de pouce merci d'avance
salut
petite erreur dans ton enonce U(0)=0 non ?
3a) raisonnement par recurrence sur n.
pour n=0 c'est vrai
soit n>=0 tel que U(n+1)=4U(n)+1 => 4U(n)=U(n+1)-1
on regarde U(n+2)=5U(n+1)-4U(n) = 5*U(n+1)-U(n+1)+1 = 4U(n+1) +1
donc c'est vrai au rang suivant.
donc pour tout n dans N U(n+1)=4*U(n)+1
b) raisonnement par recurrence sur n.
U(0) est entier naturel et la relation du a) nous donne l'heredite (je fais que les grandes lignes, il faudra le rediger autrement...)
c) on a donc U(n+1)-4U(n)=1
=> identite de bezout le pgcd de U(n) et U(n+1) est 1.
4a) on exprime V(n+1) en fonction de V(n)
V(n+1)=U(n+1) +1/3 = 4*U(n) +4/3 = 4*[U(n)+1/3] = 4*V(n)
=> V est geometrique de raison 4 et de premier terme V(0)=1/3 SI U(0)=0
b) consequence du 4a) V(n)=V(0) * 4^n + (1/3)*4^n
donc (1/3)*4^n = U(n) + 1/3
donc U(n)= (1/3) * [4^n -1]
c)4^(n+1) - 1 =3*U(n+1)
et 4^n - 1 = 3*U(n)
donc pgcd (4^(n+1)-1,4^n-1) = 3*pgcd(U(n+1),U(n))= 3.
a verifier tout ca...
hahaha !!! (desole pour ce fou rire...)
non je ne suis pas au lycee Langevin.
je ne sais meme pas ou ca se trouve d'ailleurs.
j'ai deduis que "u(0)=1" est une erreur d'enonce et que u(0)=0 car tu dis "jai trouvé U(2)=5" et etant donne que ce doit etre simple j'ai pense que c'etait juste et dans l'enonce on a " montrer que la suite u verifie, pour tout entier naturel n , U(n+1)=4U(n)+1"
U(2)=5 => U(1)=1 (ce qui est marque dans l'enonce ) et donc U(0)=0.
si tu as d'autres questions n'hesite pas.
a+
oups petite erreur de ma part.
j'ai suppose que timondu13 etait le premier posteur qui est en fait titi_45.
desole pour cette confusion et a+.
Bonsoir
j'ai rendu mon Dm sans faire la question 3) b) pourrait tu me l'expliquer plus clairement.
dommage c'etait l'une des questions les plus facile.
raisonnement par recurrence sur n.
on a U(0) entier naturel.
hypothese de recurrence on suppose qu'il existe n >= 0 tel que U(n) entier naturel.
reagrdons U(n+1).
U(n+1)=4*U(n)+1
d'apres hypothese de recurrence U(n) entier naturel donc U(n+1) entier naturel.
l'heredite de la propriete etant demontre et du fait que U(0) est entier naturel on a pour tout n dans N U(n) entier naturel.
a+.
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