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Suite et récurence
Bonjour je suis bloquer dans mon exercice de dm , voici l'énoncé :
On considère la suite récurrente u définie par son premier terme uo=0 et par la relation de récurence : u(n+1)=un+2n-11 pour tout entier naturel n.
1/Grâce à un tableur, calculer et représenter les 20 premiers termes de cette suite.
2/Grâce à l'allure du nuage de points précédent, expliquer en détails comment conjecturer une formule définissant la suite u en mode explicite.
3/Démontrer cette formule par récurrence(pensez à vérifier)
Où j'en suis :
1/J'ai calculer les 20 premier termes grâce à ma calculatrice et fait le graphique aussi avec la calculatrice et on observe que les point sont sur une parabole.
2/Une parabole à une forme d'équation y=ax²+bx+c.
Ensuite j'ai prit un point qui appartient à la courbe ici 0 qui à pour coordonnées (0;0)
a*0²+b*0+c=0
donc c = 0
Ensuite j'ai reprit 2 autres point de la courbe M(12;0) et N(1;-11)
a*12²+b*12=0
a*1²+b*1=-11
144a+12b = 0
a + b = -11
144a+12b = 0
12a + 12b = -132
On soustrait membres à membres :
144a+12b-12a-12b=132
a=1
donc f(x)=x²+bx
J'ai remplacer les coordonnées de M dans l'équation donc 0=12²+12b
b=-12
f(x)=x²-12x
donc un=n²-12n
3/ La je suis bloquer je comprend pas vraiment la question et je ne sais pas faire par récurrence si quelqu'un pouvait m'aider merci.
Bonjour je suis bloquer dans mon exercice de dm , voici l'énoncé :
On considère la suite récurrente u définie par son premier terme uo=0 et par la relation de récurence : u(n+1)=un+2n-11 pour tout entier naturel n.
1/Grâce à un tableur, calculer et représenter les 20 premiers termes de cette suite.
2/Grâce à l'allure du nuage de points précédent, expliquer en détails comment conjecturer une formule définissant la suite u en mode explicite.
3/Démontrer cette formule par récurrence(pensez à vérifier)
Où j'en suis :
1/J'ai calculer les 20 premier termes grâce à ma calculatrice et fait le graphique aussi avec la calculatrice et on observe que les point sont sur une parabole.
2/Une parabole à une forme d'équation y=ax²+bx+c.
Ensuite j'ai prit un point qui appartient à la courbe ici 0 qui à pour coordonnées (0;0)
a*0²+b*0+c=0
donc c = 0
Ensuite j'ai reprit 2 autres point de la courbe M(12;0) et N(1;-11)
a*12²+b*12=0
a*1²+b*1=-11
144a+12b = 0
a + b = -11
144a+12b = 0
12a + 12b = -132
On soustrait membres à membres :
144a+12b-12a-12b=132
a=1
donc f(x)=x²+bx
J'ai remplacer les coordonnées de M dans l'équation donc 0=12²+12b
b=-12
f(x)=x²-12x
donc un=n²-12n
3/ La je suis bloquer je comprend pas vraiment la question et je ne sais pas faire par récurrence si quelqu'un pouvait m'aider merci.
*** message déplacé ***
Bonsoir Dunter
Il y a une erreur dans un coefficient de la parabole
On a un = n²-10n
A partir de là , pour initialiser , on vérifie pour 0 : u0 = 0
Ensuite , on part de un = n²-10n et grâce à la relation de récurrence , on peut écrire
un+1 = un + 2(n+1) - 11
= n²-10n + 2n + 2 -11
= n² + 2n + 1 -10n - 10
= (n+1)² - 10(n+1)
La propriété est vérifiée pour (n+1)
*** message déplacé ***
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