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Suite et récurrence
Slt ! J'ai un DM sur les complexes à faire et je n'y arrive pas, vous pouvez peut-être m'aider ?
Alors,
On considére une suite (Un) vérifiant la relation de récurrence : Un+1 = Un + Un-1, pour tout entier n naturel non nul.
1.Une telle suite peut-elle être constante ? Justifier.
2.Une telle suite peut-elle être arithmétique ? Justifier.
3.Une telle suite peut-elle être géométrique ? Justifier.
4. On pose : U0=1 et Un+1 = Un + Un-1, pour tout entier naturel n non nul.
Montrer que la suite définie par : Un=1/[V(5)]*[[(1+V(5))/2]^(n+1)-[(1-V(5))/2]^(n+1)] vérifie la relation de récurrence.
5.On étudie la suite : U0=1 et U1=1 et Un+1 = Un + Un-1, pour tout entier naturel n non nul.
a)Calculer U2, U3, U4 et U5
b)Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, Un est un entier naturel non nul. En déduire que la suite est strictement croissante.
c) Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n>ou=3, Un>ou=n-1. Justifier que la propriété est vraie pour tout n.
d) Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n non nul, (Un)² - Un+1 Un-1 = (-1)^n.
Merci d'avance pour votre aide !
Je n'arrive à rien faire, je suppose quelques petites choses mais je n'arrive pas à justifier
Ba la première à ton avis c'est possible ou pas ??
Pour qu'une suite soit constante il faut que Un-1=Un=Un+1 et c'est vrai que si Un=0
Non ?
Voilà donc c'est possible
Ensuite pour la 2ème question
Si Un était arithmétique on aurait Un = U0 + nr
Or Un+1 = Un + Un-1
Pour n>=1 on aurait Un+1 = 2U0 + (2n-1)r = U0 + (n+1)r
Ce n'est pas possible (sauf pour la suite nulle)
Je te laisse faire un raisonnement similaire pour la suite géométrique.
Mais pour la question 1, il ne faudrait pas justifier ?
Ba vu que tu as donné une suite constante qui vérifiait cette propriété c'est bon, il en existe au moins une.
Si Un était géométrique on aurait Un = U0 * q^n
Or Un+1 = Un + Un-1
Pour n>=1 on aurait Un+1 = U0*q*(1+p^-1)
Et je n'arrive pas à conclure
Pourquoi ce n'est pas possible dans le cas de la suite arithmétique, je nai pas compris !
Et bien pour la suite arithmétique, il est clair que
2U0 + (2n-1)r = U0 + (n+1)r n'est possible que pour U0=0 et r=0 donc pour la suite nulle.
Pour la suite géométrique
Si Un était géométrique on aurait Un = U0 * q^n
Or Un+1 = Un + Un-1
Pour n>=1 on aurait Un+1 = U0 * q^(n-1) * (1+q) = U0 * q^(n+1)
<=> pour U0 et q différents de 0, 1 + q = q²
Ce qui est possible, tu peux trouver les valeurs de q
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