heu, tu es sûr de ton énoncé ?
tu ne parles pas de la somme Sn dans ta question, ça me fait bizarre...

je suis sur de l'enonce Sn= U5+U6+...+Un
c'est un exercice d'annale non corigé malheureusement

excuser moi il faut montrer Un<(3/4)^(n-5)*U5

mais ce qui me pose problème c'est que tu dis que U(n+1)<3Un/4 pour n>5
et qu'il faut prouver que pour tout entier naturel n>5 UN>(3/4)^(n-5)*U5
prenons U6... U6< 3*U5/4 car 6>5
cad U6< (3/4)^(6-5)*U5
et tu dois prouver que U6> (3/4)^(6-5)*U5
je comprends pas !!

alors dans ce cas là tu étudies ta somme Sn (normal, ils ne l'ont pas mis là par hasard ).
par récurrence tu montres que Sn<(3/4)^(n-5)*U5
et Sn=U5+U6+...+Un
si tu sais que tes U5, U6, etc... sont positifs c'est fini !
bonne chance !
si tu as besoin d'aide n'hésite pas !

desolé mais je ne comprend pas

comment tu montre par recurrence que Sn<(3/4)^(n-5)*U5

je suis désolée, mon ordi plantait ce matin et j'ai pas pu te dire avant maintenant que je m'étais trompée...
en fait il ne faut pas utiliser Sn, je vois pas trop bien pourquoi ils l'ont foutue là, enfin !
il faut faire une récurrence toute simple :
ta propriété est Un<(3/4)^(n-5)*U5 pour tout n>5
tu sais que U6<(3/4)U5
donc la propriété est vraie pour n = 6
supposons la propriété vraie pour n, montrons la pour n+1 :
Un+1 < 3Un/4 pour n>5
et par hypothèse de récurrence Un < (3/4)^(n-5)*U5

donc tu as finalement Un+1 <(3/4)Un <(3/4)[(3/4)^(n-5)*U5]

cad Un+1 < (3/4)[(3/4)^(n-5)*U5]
et donc Un+1 < (3/4)^(n+1-5)*U5

voilà, et encore désolée mais je pensais vraiment que la somme était là pour t'aider...

apres il demande de montrer que Sn<[1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-5)]U5
et de deduire que Sn<4U5

bah voilà, il faut donc utiliser ce que tu viens de démontrer par récurrence !
Un<(3/4)^(n-5)*U5 pour tout n>5
si tu sommes les termes U5 jusqu'à Un tu peux majorer la somme par la somme pour k allant de 5 à n de (3/4)^(k-5)*U5.
donc si tu mets U5 en facteur ensuite tu trouves bien ce qu'ils te demandent...
Sn<[1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-5)]U5
ensuite tu utilises la formule pour la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique pour connaître la valeur de 1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-5)

c'est égal à [1-(3/4)^(n-5)]/(1-3/4)
cad [1-(3/4)^(n-5)]/(1/4)
ou encore 4*[1-(3/4)^(n-5)]

or 1-(3/4)^(n-5) < 1
donc 4*[1-(3/4)^(n-5)] < 4
et finalement tu as [1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-5)]U5 < 4*U5
Sn<[1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^(n-5)]U5 < 4*U5
donc Sn < 4*U5

merci
et encore une question ( c'est la derniere de l'exo)
montrer ques la suite Sn est croissante et en deduire qu'elle converge

bon ben croissante c'est pas difficile il suffit de dire que tous les termes de la suite (Un) sont positifs.
donc lorsque tu passes de Sn à Sn+1 tu ajoute quelque chose de positif, donc la suite Sn est croissante.
croissante et majorée...
bonne soirée !