exo1
Démontrer par récurrence :
P(n) : 5^n+2 > 4^n+2 + 3^n+2
Attention à l'écriture (en terminale, tu dois connaitre les priorités des opérateurs et donc être capable d'y porter attention).

Pour moi, quand je lis :
5^n+2 > 4^n+2 + 3^n+2

Si je calcule pour n=1 :


5^1 +2 = 5 + 2 =7
4^1+2 + 3^1+2 = 2+3+3+2=10
et ca ne marche pas.

J'en conclus que ce que tu VOULAIS écrire c'était :
5^(n+2) > 4^(n+2) + 3^(n+2)


initialisation :
5^(0 +2) = 5² = 25
4^(0+2) + 3^(0+2) = 4²+3² = 16+9 =25
Ca ne marche pas vraiment pour P(0) puisqu'on a :

5^(n+2) = 4^(n+2) + 3^(n+2)

Tant pis, l'hypothese était peut être avec supérieur ou égal ? ou alors pour tout entier naturel non nul ?

Merci de m'éclairer sur ce point...

Récurrence :
Supposons que 5^(n+2) > 4^(n+2) + 3^(n+2)
Démontrons qu'alors :
5^(n+3) > 4^(n+3) + 3^(n+3)


5^(n+3) = 5×5^(n+2)
5^(n+3) > 5×(4^(n+2) + 3^(n+2))
5^(n+3) > 5×4^(n+2) + 5×3^(n+2)
5^(n+3) > 4×4^(n+2) + 3×3^(n+2)
5^(n+3) > 4^(n+3) + 3^(n+3)