Bonjour,

Je bloque sur cette exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Énoncé :

La suite U_n est définie par U₀=2 et pour tout n de , U_n+1=(5U_n-3)/(U_n+1).

Question :

1)Montrer que, pour tout n, 1<U_n<3
2)On pose V_n= (U_n-3)/(U_n-1) pour tout n :
a)Montrer que V_n est une suite géométrique ; en précisant le 1er terme et la raison.
b) Exprimer V_n puis U_n en fonction de n.

Où j'en suis :

1)On utilise la récurrence :

Initialisation :

Pour n=0
U₀=2
donc 1<2<3
donc la proposition est vraie pour n=0

Hérédité :

On suppose qu'il existe un entier k tel que :
1<U_k<3
On doit alors démontrer que :
1<U_k+1<3

Démonstration :

Et là je ne sais pas comment faire, vous pouvez m'aider, s'il vous plait ?

2)a)V_n+1=(U_n+1-3)/(U_n+1-1)
J'ai trouvé : V_n+1=(1/2)V_n
Donc q=1/2
V₀=(U₀-3)/(U₀-1)=-1

b)Vn en fonction de n :
V_n=V₀qⁿ=-1*(i/2)ⁿ=-1/2ⁿ

Un en fonction de n :

V_n=(U_n-3)/(U_n-1) = -(1/2)ⁿ
U_n-3=-(1/2)ⁿ*(U_n-1)
U_n=(-U_n/2ⁿ)+(1/2ⁿ)+3
U_n=(-U_n+1+3*2ⁿ)/2ⁿ
Là je bloque, je sais pas si c'est bon ou si la réponse a rien à voir :/