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Suite et Trigonométrie

Posté par
Yona07 26-11-21 à 16:38

Bonjour!

I. Formule de Viète:

1.Montrer, pour x\neq 0, que:\lim_{n\rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n}{\cos(\frac{x}{2^k})}=\frac{\sin(x)}{x} (déjà du mal à commencer; j'ai essayé d'appliquer la formule d'Euler, de transformer le produit en somme.. mais en vain)


2.En déduire la formule de Viète: \frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\times \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\times ...

II. Pour n2, on considère les suites (x_n) _{n\geq 2} et (y_n) _{n\geq 2} définies par:

x_n=\prod_{k=2}^{n}{\cos(\frac{\pi}{2^k})} et y_n=x_n\cos(\frac{\pi}{2^n}).

1.Montrer que les suites (x_n) _{n\geq 2} et (y_n) _{n\geq 2} sont adjacentes et trouver leur limite commune l.
2.Montrer que pour tout n2: 0\leq x_n-l\leq \frac{\pi^2}{2^{2n+1}}

Merci d'avance!

Posté par
carpediemre : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 19:38

salut

que vaut \cos \dfrac x {2^n} \sin \dfrac x {2^n}  ?

Posté par
Foxdevilre : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:14

Bonsoir Yona07,

Tu peux calculer le produit partiel de 1) en le multipliant par \sin (\frac{x}{2^n}).
Il te restera ensuite à passer à la limite.


2) Simple application de 1) en une valeur bien choisie...la formule de Viète te donne un gros indice sur la valeur en question...

II1) Simple application du cours sur les variations d'une suite

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:26

Bonsoir!

carpediem @ 26-11-2021 à 19:38

Que vaut \cos \dfrac x {2^n} \sin \dfrac x {2^n}  ?


\cos(\frac{x}{2^n})\sin(\frac{x}{2^n})=\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2^{n-1}})

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:36

La piste pour 1 permet d'aboutir . Merci carpediem et Foxdevil!

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:42

Foxdevil @ 26-11-2021 à 20:14

2) Simple application de 1) en une valeur bien choisie...la formule de Viète te donne un gros indice sur la valeur en question...

Si, pour x=\frac{\pi}{2}.

Posté par
Foxdevilre : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:43

Yona07 @ 26-11-2021 à 20:42

Foxdevil @ 26-11-2021 à 20:14

2) Simple application de 1) en une valeur bien choisie...la formule de Viète te donne un gros indice sur la valeur en question...

Si, pour x=\frac{\pi}{2}.

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:51

Foxdevil @ 26-11-2021 à 20:14

II1) Simple application du cours sur les variations d'une suite


Effectivement, c'est très simple. (x_n) décroissante et  (y_n) croissante, limite de  x_n-y_n est 0 quand n tends vers + l'infini.

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 20:56

l=\frac{2}{\pi}

Posté par
Yona07re : Suite et Trigonométrie 26-11-21 à 21:01

On trouve II)2 à partir de y_n\leq l\leq x_n.

Merci encore une fois!

Posté par
carpediemre : Suite et Trigonométrie 27-11-21 à 08:47

de rien

Posté par
Foxdevilre : Suite et Trigonométrie 27-11-21 à 10:17

Yona07 @ 26-11-2021 à 21:01

On trouve II)2 à partir de y_n\leq l\leq x_n.

Merci encore une fois!
Alors, sauf erreur de ma part, ça démontre le côté gauche....mais pas le côté droit

Posté par
Foxdevilre : Suite et Trigonométrie 28-11-21 à 01:12

Foxdevil @ 27-11-2021 à 10:17

Yona07 @ 26-11-2021 à 21:01

On trouve II)2 à partir de y_n\leq l\leq x_n.

Merci encore une fois!
Alors, sauf erreur de ma part, ça démontre le côté gauche....mais pas le côté droit
Ou du moins, ça mérite des précisions


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