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Suite ! factoriel n
Bonjour; J'ai un exercice de maths un peu corsé ( selon moi bien sur ):
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 4, n!≥2^n
En déduire la limite de n!.
2) pour tout entier naturel n et tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ n,
on pose le couple (n,p) = n!/ p!(n-p)!
a) calculer (5;2), (7;10) ,( 14;0) (0;0), (17;17) et pour tout entier n : (n;0), (n;1) et (n;n).
b) Montrer que, pour tout entier n ≥1, et pour tout p entier avec 1 ≤ p ≤ n,
(n; p-1) + (n;p) = ( n+1 ; p).
c) En déduire par récurrence sur n que: pour tout n є N, et pour tout p entier avec 0 ≤ p ≤n, ( n;p) entier.
Dès la première question, je suis un peu pommé;
initialisation : 4! = 24 et 2^4 = 16
donc la proposition est vérifié pour 4.
hérédité:
Là je ne sais pas comment commencer...
Quelqu'un peut il m'aider ??? Merci d'avance !
Bonjour.
n! c'est 1x2x3x...x n x (n-1)
donc (n+1)! c'est 1x2x3x... (n-1)(n)(n+1) donc ( n+1)! = n! (n+1).
n!(n+1) ≥ 2^n x (n+1) [car n+1 est positif]
1x2x3x...(n-1)(n)(n+1) ≥ 2^n + n2^n
1x2x3x...x n(n²-1) ≥ 2^n + n2^n (on divise par n positif car supérieur à 4 )
1x2x3x...x (n²-1) ≥ 2^n + 2^n
1x2x3x...x (n²-1) ≥ 2^n+1
P(n) vraie entraine p(n+1) vraie.
Donc Par récurrence n!≥ 2^n pour tout n ≥ 4. ( Je ne me suis pas trompé jusque là? est ce que à la dernière ligne des inégalités c'est suffisant?)
2^n c'est la suite qui correspond a 2^x et 2^x tend vers + ∞
donc d'après le théorème de comparaison n! tend vers + ∞ .
Bonjour,
ensuite pour le 2) a)
je trouve (5;2)=10 (7;10)=120 ,
( 14;0) = 1 = (0;0) = 1 = (17;17) = 1
(n;0) = n! / 0!( n)! = n!/1n! =1
(n;1) = n! / 1!( n)! = n!/1n!=1
(n;n) = n! / n!(0)! = n!/ 1n! =1
J'ai bon jusque là ? Pour le b) Je fais comment ?
b) Montrer que, pour tout entier n ≥1, et pour tout p entier avec 1 ≤ p ≤ n,
(n; p-1) + (n;p) = ( n+1 ; p).
Bonjour,
Je pense avoir trouvé pour le b)
(n; p-1) + (n;p) = n!/ (p-1)!(n-p-1)! + n!/(p!(n-p)!)
= [n! [p!(n-p)!+(p-1)!(n-(p-1))!]]/[(p-1)!(n-(p-1)!p!(n-p)!]
en appliquant la définition de la factorielle, j'ai par exemple :
(n-p) ! = ( n-p) (n-p-1) !
(n+1-p)! = (n-p)! (n+1-p)
Et en simplifiant en la fraction on trouve n!(n+1) / p!(n+1-p)! soit ( n+1 ; p).
par contre pour le c), la récurrence c'est pas mon fort, meme les simples j'ai parfois du mal...
comment prouver que ( n;p) soit un nombre entier avec 0 ≤ p ≤n ? Par où commencer ?
Rebonjour
P(n): Tous les sont des entiers pour
A vérifier pour n=1, évident!
P(n+1) résulte de l'égalité que tu viens de démontrer.
Bonjour,
Ainsi pour n=1 et p=0 on a (1;0)=1 et 1 є N
P(0) est vraie;
en supposant que pour un n є N avec 0 ≤ n , Pn soit vraie :
(n+1 ; p) avec p=1,p=0,p=n+1 est un entier naturel égal à 1.
on a (n+1 ; p) = (n;p) + (n ;p-1)
or selon l'hypothèse (n;p) est un entier naturel, et (n ;p-1) est par conséquent entier naturel;
la somme de deux entiers naturels est un entier naturel.
Donc P(n) vraie entraine P(n+1) vraie et P(0) est vraie, donc par récurrence
P(n) est un entier pour tout n є N avec 0 ≤ p ≤ n .
Dites moi si je me trompe, ou si je n'en dis pas assez.
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