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Suite ! factoriel n

Posté par
Arcturius
21-01-09 à 16:03

Bonjour; J'ai un exercice de maths un peu corsé ( selon moi bien sur ):

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 4,  n!≥2^n
En déduire la limite de  n!.

2) pour tout entier naturel n et tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ n,
on pose  le couple (n,p) = n!/ p!(n-p)!

a) calculer (5;2), (7;10) ,( 14;0)  (0;0), (17;17) et pour tout entier n : (n;0), (n;1) et (n;n).

b) Montrer que, pour tout entier n ≥1, et pour tout p entier avec 1 ≤ p ≤ n,
(n; p-1) + (n;p) = ( n+1 ; p).

c) En déduire par récurrence sur n que: pour tout n є N, et pour tout p entier avec   0 ≤ p ≤n, ( n;p) entier.




Dès la première question, je suis un peu pommé;
initialisation : 4! = 24  et 2^4 = 16

donc la proposition est vérifié pour 4.

hérédité:

Là je ne sais pas comment commencer...

Quelqu'un peut il m'aider ??? Merci d'avance !
                                                

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite ! factoriel n 21-01-09 à 16:11

Bonjour

Hypothèse de récurrence: P(n):n!\geq 2^n

Multiplie par n+1 pour arriver à prouver P(n+1): (n+1)!\geq 2^{n+1}

Posté par
Arcturius
re : Suite ! factoriel n 21-01-09 à 21:48

Bonjour.

n! c'est 1x2x3x...x n x (n-1)
donc (n+1)! c'est 1x2x3x... (n-1)(n)(n+1)   donc ( n+1)! = n! (n+1).


n!(n+1)    ≥  2^n x (n+1)        [car n+1 est positif]
1x2x3x...(n-1)(n)(n+1)   ≥   2^n + n2^n
1x2x3x...x n(n²-1)       ≥   2^n + n2^n       (on divise par n positif car  supérieur à 4 )
1x2x3x...x (n²-1)    ≥ 2^n + 2^n
1x2x3x...x  (n²-1)   ≥  2^n+1  

P(n) vraie entraine p(n+1) vraie.
Donc Par récurrence  n!≥ 2^n pour tout n ≥ 4.  ( Je ne me suis pas trompé jusque là? est ce que à la dernière ligne des inégalités c'est suffisant?)


2^n  c'est la suite qui correspond a 2^x et 2^x tend vers + ∞
donc d'après le théorème de comparaison n! tend vers + ∞ .

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite ! factoriel n 22-01-09 à 14:14

OK!

Posté par
Arcturius
re : Suite ! factoriel n 22-01-09 à 21:17

Bonjour,
ensuite pour le 2) a)
je trouve  (5;2)=10 (7;10)=120 ,
( 14;0) = 1 = (0;0) = 1 = (17;17) = 1

(n;0) = n! / 0!( n)! = n!/1n! =1
(n;1) = n! / 1!( n)! = n!/1n!=1
(n;n) = n! / n!(0)! = n!/ 1n! =1

J'ai bon jusque là ? Pour le b) Je fais comment ?
b) Montrer que, pour tout entier n ≥1, et pour tout p entier avec 1 ≤ p ≤ n,
(n; p-1) + (n;p) = ( n+1 ; p).

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite ! factoriel n 23-01-09 à 14:14

Jusqu'ici ça va!

Pour le b) fais le calcul, ça s'arrange tout seul!

Posté par
Arcturius
re : Suite ! factoriel n 27-01-09 à 10:45

Bonjour,
Je pense avoir trouvé pour le b)

(n; p-1) + (n;p) = n!/ (p-1)!(n-p-1)!  + n!/(p!(n-p)!)
                 = [n! [p!(n-p)!+(p-1)!(n-(p-1))!]]/[(p-1)!(n-(p-1)!p!(n-p)!]

en appliquant la définition de la factorielle, j'ai  par exemple :
(n-p) !  =  ( n-p) (n-p-1) !
(n+1-p)! = (n-p)! (n+1-p)

Et en simplifiant  en la fraction on trouve n!(n+1) / p!(n+1-p)!  soit  ( n+1 ; p).

par contre pour le c), la récurrence c'est pas mon fort, meme les simples j'ai parfois du mal...

comment prouver que ( n;p) soit un nombre entier avec  0 ≤ p ≤n ? Par où commencer ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite ! factoriel n 27-01-09 à 14:19

Rebonjour

P(n): Tous les C_n^p sont des entiers pour 1\leq p\leq n

A vérifier pour n=1, évident!

P(n+1) résulte de l'égalité que tu viens de démontrer.

Posté par
Arcturius
re : Suite ! factoriel n 27-01-09 à 21:18

Bonjour,

Ainsi pour n=1 et p=0 on a (1;0)=1 et 1 є N
P(0) est vraie;

en supposant que pour un n є N avec  0 ≤ n , Pn soit vraie :

   (n+1 ; p) avec p=1,p=0,p=n+1 est un entier naturel égal à 1.

on a (n+1 ; p) = (n;p) + (n ;p-1)
or selon l'hypothèse (n;p) est un entier naturel, et (n ;p-1) est par conséquent entier naturel;

la somme de deux entiers naturels est un entier naturel.

Donc P(n) vraie entraine P(n+1) vraie et P(0) est vraie, donc par récurrence
P(n) est un entier pour  tout n є N avec  0 ≤ p ≤ n .

Dites moi si je me trompe, ou si je n'en dis pas assez.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Suite ! factoriel n 28-01-09 à 14:13

C'est OK!

Posté par
Arcturius
re : Suite ! factoriel n 29-01-09 à 15:19

Merci beaucoup !!!



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