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suite implicite

Posté par
aya4545
05-12-21 à 23:18

bonjour
merci de m aider a terminer cet exercice
fn(x)=x+\sqrt[n\,]{x}
1) montrez que fn est une bijection de R+ dans un intervalle J que  l on determinera
2)deduire que pour tout n de N ( non nul) l equation 1=x+\sqrt[n\,]{x} admet une solution unique  tn de  R+
3)montrez que pour tout n de N   0<tn<1
4) mq (tn)n>=1  est convergente soit l sa limite
5)montrez que pour tout n de N*     tn>=l  en déduire  
(1-l)^n>=tn>=0
6)deduire la limite de (tn)
ce qui me peine c 'est la déduction de 5) le reste je l ai fait
et merci

Posté par
aya4545
re : suite implicite 05-12-21 à 23:29

salut
pour justifier la convergence de (tn)  ja montré qu elle est decroissante  et minorée par 0 donc elle est convergente
(tn) decroissante  donc majorée par t1=1/2

Posté par
aya4545
re : suite implicite 05-12-21 à 23:57

salut
ona  tn>=l  donc  (1-tn)^n<=  (1-l)^n
or tn est l unique solution de   x+\sqrt[n\,]{x}=1
Donc  1-tn=  \sqrt[n\,]{tn} d ou le resultat

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite implicite 06-12-21 à 11:56

Bonjour,
D'accord. Je détaille :
Je note L la limite car plus lisible que l
tn L car la suite est décroissante.
Donc 1- tn 1 - L.
tn est solution de  x+\sqrt[n\,]{x}=1 ;
donc \sqrt[n\,]{t_n} \leq 1-L car 1-t_n = \sqrt[n\,]{t_n}.
D'où tn (1 - L)n.

Posté par
aya4545
re : suite implicite 06-12-21 à 13:49

salut
merci Sylvieg
j ai passé beaucoup de temps dans cette question
j ai essayé de montrer que   f((1-L)^n)<=1=fn(tn) puis par recurence  mais en vain je nai pas reussi
alors que le chemin etait tres court  il suffit d utiliser une  majoration de tn    pour en deduire une "minoration" de  (1-L)^n  par tn

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite implicite 06-12-21 à 20:50

Tu y as passé beaucoup de temps ; mais tu as fini par t'en sortir tout seul
Comment as-tu traité 6) ?

Posté par
aya4545
re : suite implicite 07-12-21 à 11:36

salut
il est clair que       0 < tn<1  donc    0 <=L<=1  L ne peut etre egale   a 1   en effet  f(1)=2 d ou  0<= L<1  
d autre part   0<=1- L<1  donc lim  lim (1- L)^n=0
d apres le theoreme des gendarmes lim tn =0
et merci Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite implicite 07-12-21 à 13:51

Oui pour le début ; ou bien (tn) décroissante, donc
majorée par son 1er terme 1/2.
Pour la suite, attention : Lim(1-L)n n'est pas égal à 0 si L = 0.
Il manque donc quelque chose dans ton raisonnement.

Posté par
aya4545
re : suite implicite 07-12-21 à 14:55

salut
si L=0 alors lim tn=0  et c est terminé
sinon L \neq0       et puisque tn>0  Donc   Lim tn>=0 Donc   L>0 ona   (1-L)^n>tn>=0  or
lim (1-L)^ =0  donc 0>=L   absurde
et merci infinement Sylvieg parfois je ne fais pas attention a ces details

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite implicite 07-12-21 à 15:19

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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