Pur te guider :
f définie sur ]-1 ; +[

f'(x)=(-x)/(x+1)

f croissante sur [-1 ; 0] dans ]-,0]
f décroissante sur [0 ;+[dans [0,-[

Réécris g avec des paranthéses SVP.

Voici g(x) réécrit avec des parentheses
g(x)=[ln(x+1)]-[(x)/(x+1)]

Personne ne peut me répondre...

1)a)j'ai g'(x)=f'(x)
b)si les dérivées sont les memes jen déduis que les fonctions sont égales(pas sur)
2)a)méthode Un et Vn adjacentes :
(Un) croissante (Vn) décroissante et lim (Vn-Un)=0(ou inversement)

Mon avis : c'est une vraie épreuve de bac(méfies toi)
                                          

s'il vous plait, quelqu'un trouve comme davidk???? Moi, pas vraiment... Je ne comprends rien à cet exercice.....................

S'il vous plait... Un peu d'aide pour ce sujet que je ne comprends pas type bac serait le bienvenu

S'il vous plait...
Je me déconnecte, mais je viendris voir régulierement...

salut

f(x)=ln(x+1)-x et g(x)=ln(x+1)-x/(x+1)

donc f'(x)=1/(x+1) - 1
et g'(x)=1/(x+1) -1/[(x+1)²]=[1/(x+1)]*[1-1/(x+1)]

x est dans R+ donc x+1>=1 donc 1/(x+1)=<1 donc 1/(x+1)-1=<0

donc f'(x)=<0 sur R+.

donc f est decroissante sur R+.
remarque f'(x)=0 <=> x=0

on voit que g'(x)=-(1/(x+1))*f'(x)
et 1/(x+1)>0
donc g'(x)>=0 <=> f'(x)=<0 <=> x dans R+
donc g est croissante sur R+

remarque g'(x)=0 <=> f'(x)=0 <=> x=0

les limites :

f(x)=ln(x+1)-x = (x+1)*[ln(x+1)]/(x+1)-x/(x+1)]
en faisant tendre x vers +oo on trouve comme limite -oo


g(x)=ln(x+1) - x/(x+1)

ici aucune indeterminee (a part peut etre pour x/(x+1) mais on met en facteur x au numerateur et au denominateur) donc la limite en +oo de g est +oo

f(0)=0
g(0)=0

une fois les tableau de variation de f et de g faits

on voit que pour tout x dans R+ f(x)=<0 et g(x)>=0

donc ln(x+1)=<x
et ln(x+1)>=x/(x+1)

enfin n est dans N* donc on peut prendre x=1/n

il suffit de remplacer x par 1/n dans les inegalites obtenues.

2.

a(n)=1+1/2+1/3+...+1/n- ln(n)
b(n)=1+1/2+1/3+...+1/n- ln(n+1)


a est elle decroissante ?

a(n+1)-a(n)=1/(n+1) -ln(n+1)+ln(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)
or ln(1+1/n)>=1/(n+1) d'apres question precedente
donc a(n+1)-a(n)=<0
donc a est decroissante.

b croissante ?

b(n+1)-b(n)=1/(n+1)-ln(n+2)+ln(n+1)=1/(n+1)-ln[(n+2)/(n+1)]=1/(n+1)-ln[1 + 1/(n+1)]
d'apres question precedente 1/(n+1)>=ln(1+1/(n+1))
donc b est croissante.

a(n)-b(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln[(n+1)/n]=ln(1+ 1/n)
donc (a(n)-b(n)) tend vers 0 lorque n tend +oo
donc a et b sont adjacentes.

le fait que c est croissante est immediat

(fait c(n+1)-c(n) si tu ne le vois pas)

au tour de d
d(n+1)-d(n)=1/(n+1)+1/(n+1)²-1/n=[n*(n+1)+n-(n+1)²]/[n*(n+1)²]

d(n+1)-d(n)=-1/[n*(n+1)²]
donc d est decroissante.

on fait c(n)-d(n)=-1/n qui tend vers 0 quand n tend vers +oo.

donc c et d sont adjacentes.


c)comme a et b adjacentes, a et b convergent et ont meme limite.

comme c et d adjacentes, c et d convergent et ont meme limite.

d)il faut calculer c(n)-d(n) jusqu'a ce que |c(n)-d(n)|=<10^-2
une fois qu'un n verfie cela, la reponse est c(n) (ou d(n) si tu preferes) tronqué a 10^-2 pres)

3. le piege.

passons a la seconde

d'apres 2. y converge.

x converge t elle ?

raisonnement par l'absurde :
si x converge. soit l sa limite.

on a a qui converge (d'apres 2c) soit L sa limite.

on a pour tout n dans N a(n)=x(n) - ln(n)

donc x(n)-a(n)=ln(n)

comme x et a converge chacune vers l et L on a (x(n)-a(n)) qui converge vers l-L
or (ln(n)) diverge contradiction.
donc x ne converge pas.

remarque (yn) doit tendre vers Pi²/6=1,64 a 10^-2 pres
a+

Merci beaucoup pour ton aide Minotaure.

MAIS, je n'arrive pas à trouver ton résultat à g'(x)...

Je ne comprends pas comment tu fais pour, à partir des données savoir que:a(n+1)-a(n)=1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n)... Je pense que tu as
a(n+1)-a(n)=1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n)-(1+1/2+1/3+...+1/n- ln(n+1)
)
par annulation on a -ln(n)+ln(n+1) je ne vois donc pas d'ou vient 1/(n+1)...

la derivee :

g(x)=[ln(x+1)] - x/(x+1)

la derivee de x->ln(x+1) c'est x->1/(x+1)

la derivee de x-> -x/(x+1) c'est x->-1/[(x+1)]²

pour la deuxieme deux facons.
on fait u(x)=-x donc  u'(x)=-1
v(x)=x+1 donc v'(x)=1

u(x)/v(x)=-x/(x+1) donc [u(x)/v(x)]'=[u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/[v(x)]²=[-1*(x+1)-(-x)*1]/(x+1)²=-1/(x+1)²

deuxieme facon :
on remarque que -x/(x+1)=-1 + 1/(x+1)
donc la derivee de x->-x/(x+1) est la derivee de x-> -1+1/(x+1) qui est x-> -1/[(x+1)²]


pour l'histoire de a(n) tu es tombe dans le piege :

a(n)=1+1/2+1/3+...+1/n- ln(n)

a(n+1)=1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1)-ln(n+1)

donc a(n+1)-a(n)=1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n)

il ne faut pas oubliere le 1/(n+1) qui vient de a(n+1)

Merci beaucoup... Minotaure, t'es génial...


Une petite chose, tu pourrais me réexpiqué le 2d STP

Si quelqu'un d'autre m'explique la 2d, ca ne me dérangera pas du tout.......

S'il vous plait, vous pourriez répondre à ma questio, merci d'avance

S'il vous plait, j'ai vraiment besoin de cet aide...

2d)c et d convergent vers la meme limite l
du fait qu'on a des suites adjacentes on a :

c(n)=<l=<d(n)


donc 0=<l-c(n)=<d(n)-c(n)

si on a un n dans N tel que d(n)-c(n)=<10^-2

on aura donc 0=<l-c(n)=<10^-2

c'est a dire une approximation de l a 10^-2 pres.

on cherche n tel que d(n)-c(n)=<10^-2

donc 1/n=<10^-2
donc n>=100

on sait maintenant qu'a partir de n=100 on a
|c(n)-d(n)|=<10^-2

et c(100)=<l=<d(100)
maintenant ici il vaut mieux programmer la calculatrice pour eviter les calculs :

c(100)=1,634  a 10^-3 pres par defaut
donc 1,634<c(100)
et d(100)=1,645 a 10^-3 pres par exces
d(100)<1,645
donc 1,634<l<1,645
donc l=1,64 a moins de 10^-2 pres

remarque : Pi²/6=1,6449...

a+