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suite majoree

Posté par fripouille (invité) 05-06-04 à 20:41

bonjour a tous
je prepare un concours et mes connaissances en math laissent a desirer....
j ai un pb pour trouver que ma suite est majoree; voivi l enonce:
soit Un une suite definie par U0 = 1 et Un = [racine](2+Un-1)[/racine]
avec n>1

1) etudier la fonction f(x) = [racine]2+X[/racine] et montrer que Un
est croissante.
pas de probleme

2) montrer que Un est majoree, en deduire que Un est convergente;calculer
sa limite
pour la deuxieme partie de la question je crois savoir mais je ne sais
pas comment trouve le majorant.


merci de votre aide
a bientot
AURORE

Posté par Emma (invité)re : suite majoree 05-06-04 à 22:03

Salut Fripouille !

Programme cette suite dans ta calculatrice, ou alors, calcule les premiers
termes.
Tu remarqueras qu'il semble que la suite soit majorée par 2.

Il s'agit donc de démontrer que, pour tout n de   ,
un<2... pourquoi ne pas essayer une récurrence ?...

Bon courage !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite majoree 06-06-04 à 09:13

Supposons que la suite Un converge vers une valeur L.
Alors on aurait:

lim(n-> oo) U(n) = lim(n*> oo) U(n-1) = L

Avec U(n) = V(2 + U(n-1))     Avec V pour racine carrée.
lim(n-> oo) U(n) = lim(n->oo) V(2 + U(n-1))    
L = V(2 + L)
L² = 2 + L
L² - L - 2 = 0
-> L = -1 ou L = 2
Mais à cause de la racine carrée daans l'expression U(n) = V(2 +
U(n-1)), tous les U(n) ne peuvent être que positifs.

-> Si la suite Un converge, c'est vers 2.

(Remarque, ce qui précède ne prouve pas que Un converge mais uniquement que
si Un converge, ce ne peut être que vers la valeur 2)
-----

On va donc essayer de montrer que Un est majorée par 2.

Si 0 <  U(n-1) < 2
On a:
2 < 2 + U(n-1) < 4

V2 < V(2 + U(n-1)) < V4
V2 < V(2 + U(n-1)) < 2
V2 < U(n) < 2

Et a fortiori, on a : 0 < U(n) < 2    

Donc si 0 < U(n-1) < 2  , on a aussi 0 < U(n) < 2     (1)

On a U0 = 1  et donc 0 < U(0) < 2

Comme  0 < U(0) < 2 , par (1) on a 0 < U(1) < 2
Comme  0 < U(1) < 2 , par (1) on a 0 < U(2) < 2
Comme  0 < U(2) < 2 , par (1) on a 0 < U(3) < 2
Et ainsi de proche en proche, on a  0 < U(n) < 2 pour tout n de N.

Et donc la suite Un est majorée par 2.
----------
Comme la suite Un est croissante et majorée, elle est convergente.

Par la première partie , on conclut alors que Un converge vers 2.
-----
Sauf distraction.    

Posté par Emma (invité)re : suite majoree 06-06-04 à 20:25

Salut  Fripouille !

Dans mon premier message, je n'ai fait que lancer une piste sans
résoudre l'exercice. De son côté, J-P a proposé une autre
résolution, qui ne correspond pas à ma piste.
Alors je ne voudrais pas que tu fasses un mauvais mélange de ces deux directions
possibles.

Tout d'abord, bien sûr, la rédaction de J-P est exacte et complète.
A choisir, a posteriori, je prendrais d'ailleurs celle-là...

Mais naturellement, j'ai tendance à suivre les questions dans l'ordre
qu'on me pose sans lire la suite (je sais... c'est pas
bien... mais je me soigne )
Donc, si on me demande de montrer que la suite est majorée, j'observe
la suite pour voir quel peut être ce majorant. C'est ce que
je te suggérais dans mon message.

Le problème, c'est que cette suite converge rapidement vers 2,
donc j'ai facilement pu voir 'en observant les premiers
termes) que "2" était un bon choix de majorant de la suite.
Mais j'aurais tout aussi bien pu choisir 3 pour majorant !!

Alors disons que j'ai montré que (un) était majorée par
3... D'après la première question de l'exercice, elle est
croissante.
Donc elle converge... mais elle ne converge pas vers mon majorant !!!
Donc par ma méthode, je peux conclure qu'elle converge, mais je
ne peux rien dire de sa limite
.
Et comme l'énoncé le demande, je vais de toutes façons devoir faire
le raisonnement que J-P a fait, lui, en tout début.
C'est pour cela que je te disais qu'a posteriori, je choisirai la
méthode de J-P. Mais si tu n'y penses pas tout de suite dans
un exercice, et que tu appliques ma méthode, alors, attention
de ne pas tomber dans ce piège : il faudra de toutes façons
DEMONTRER que la limite ne peut être que 2...

Voilà. Je préférais donner cette précision au cas où...

@+



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