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Suite majorée , minorée.
Bonjour ,
Merci d'avance. 
Soit (an) la suite définie par : a0= -1 et , an+1=
.
Démontrer par récurrence que : ,
.
Réponses
Soit Pn : -1 ≤ 1n ≤ 3 .
*-1 ≤ a0=-1 ≤ 3 ==> P0 vraie.
* Soit k , supposons que Pk vraie.
Étudions la fonction : sur Df = [-3/2 ; +∞[.
.
==] f est strictement croissante sur ]-3/2 ; +∞[.
==> -3/2 < ≤ 3
==> -1 ≤ ≤ 3
==> -1 ≤ ≤ 3
C'est à dire Pk+1 vraie.
Conclusion : Pn vraie .
bonjour
il va quand même falloir que tu apprennes un jour à faire une récurrence convenable 
Pn : -1 
an 3
montrons par récurrence que Pn est vrai pour tout n 
0
initialisation : ok
hérédité :
supposons que pour un certain n 0 on ait Pn vrai, c'est à dire -1 an 3
.....
Bonjour,
Cela me semble juste. Vous n'avez pas besoin de dériver pour montrer que f est croissante sinon.
cerveaulogik c'est un doux euphémisme ! elles est bourrée d'erreur et ne montre en rien l'hérédité
personnellement si je vois ça dans une copie c'est 0
même la propriété qu'on est censé démontrée est mal écrite !
] f est strictement croissante sur ]-3/2 ; +∞[.
==> -3/2 <
==> -1 ≤
Bonjour
matheux14, voilà une fiche à bosser 
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
malou
ben oui, mais tu lui as déjà signalé ce lien et sur un autre post on avait passé des plombes (sans aboutir) pour écrire proprement un raisonnement pas récurrence ... ça imprime pas 
ah d'accord... c'est pas évident effectivement.
je peux lui rédiger entièrement sa récurrence alors pour lui montrer ?
oui, bien sûr, tu peux essayer si tu penses que ce sera plus facile pour lui d'avancer sur ce type de démonstration
matheux14 : pour te montrer je vais la rédiger, en gardant ton idée de fonction f qui n'est pas mauvaise :
Pn : -1 an 3
montrons par récurrence que Pn est vrai pour tout n 0
initialisation : comme tu as fait
hérédité :
supposons que pour un certain n 0 on ait Pn vrai, c'est à dire -1 an 3
soit f(x) = ... (la fonction que tu as définie) définie sur [-3/2 ; + 
[
tu as établi qu'elle est croissante... très bien
[-1 ; 3 ] 
[-3/2 ; + [
en appliquant le fonction f, croissante, aux trois membres de l'inégalité -1 an 3, l'ordre est conservé, donc
f(-1) f(an) f(3)
et on a f(an) = an+1 ; f(-1)=1 et f(3)=3
donc
1 an+1 3
et comme -1 1 , on a a fortiori
-1 an+1 3
donc Pn+1 est encore vraie.
conclusion :
on a montré par récurrence que, pour tout n 0, Pn vrai, c'est à dire -1 an 3
salut
maintenant que tout es fini on peut remarquer qu'on peut le faire simplement par une suite d'inégalités ...qu'on peut traduire à l'aide de fonction composée (notion qui revient un peu dans les programmes)
avec les notations précédentes f(x) = r o a(x) où r est la fonction racine carrée et a la fonction affine
remarquer que :
1/ les fonctions a et r sont croissantes sur leur domaine de définition respectif
2/ a(x) = 2x + 3 = 2(x + 1) + 1
3/ a(x) = 2(x - 3) + 9
d'après 1/ et 2/
d'après 1/ et du fait que r(1) = 1
donc puisque
d'après 1/ et 3/
d'après 1/ et du fait que r(9) = 3
remplacer par
pour rédiger proprement un raisonnement par récurrence ...
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