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Suite majorée , minorée.

Posté par
matheux14
15-04-21 à 16:43

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit (an) la suite définie par : a0= -1 et \forall n \in \N , an+1=\sqrt{2a_{n}+3.

Démontrer par récurrence que : \forall n \in \N , -1 \le a_{n} \le 3.

Réponses

Soit Pn : -1 ≤ 1n ≤ 3 \forall n \in \N.

*-1 ≤ a0=-1 ≤ 3 ==> P0 vraie.

* Soit k \in \N  , supposons que Pk vraie.

a_{k+1}=\sqrt{2a_{k}+3}

Étudions la fonction : f(x)=\sqrt{2x+3} sur Df = [-3/2 ; +∞[.

f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0.

==] f est strictement croissante sur ]-3/2 ; +∞[.

==> -3/2 < \sqrt{2x+3} ≤ 3

==> -1 ≤ \sqrt{2x+3} ≤ 3

==> -1 ≤ \sqrt{2a_{k}+3} ≤ 3

C'est à dire Pk+1 vraie.

Conclusion : Pn vraie \forall n \in \N.

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 16:56

bonjour

il va quand même falloir que tu apprennes un jour à faire une récurrence convenable

Pn : -1 an 3

montrons par récurrence que Pn est vrai pour tout n 0

initialisation  : ok

hérédité :

supposons que pour un certain n 0 on ait Pn vrai, c'est à dire -1 an 3

.....

Posté par
cerveaulogik
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 16:57

Bonjour,
Cela me semble juste. Vous n'avez pas besoin de dériver pour montrer que f est croissante sinon.

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 16:58

cerveaulogik non ! l'hérédité c'est du grand n'importe quoi !

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:06

donc matheux14 tu me refais ta récurrence en partant de ton hypothèse de récurrence

Posté par
cerveaulogik
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:06

Oui effectivement la rédaction est encore perfectible.

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:10

cerveaulogik c'est un doux euphémisme ! elles est bourrée d'erreur et ne montre en rien l'hérédité

personnellement si je vois ça dans une copie c'est 0

même la propriété qu'on est censé démontrée est mal écrite !

Posté par
matheux14
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:13

Le problème est que vous ne me dites pas ce qui est faux dans ce que j'ai fait..

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:34

rien ne correspond à une démonstration par récurrence !

donc propose quelque chose en rapport !

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:36

Citation :
] f est strictement croissante sur ]-3/2 ; +∞[.

==> -3/2 < \sqrt{2x+3} ≤ 3 je ne vois vraiment pas pourquoi c'est inférieur à 3 ... essaye avec x=100 ...!

==> -1 ≤ \sqrt{2x+3} ≤ 3 quand on est supérieur à -3/2, on n'est pas nécessairement supérieur à -1

Posté par
malou Webmaster
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:50

Bonjour
matheux14, voilà une fiche à bosser Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 17:52

malou

ben oui, mais tu lui as déjà signalé ce lien et sur un autre post on avait passé des plombes (sans aboutir) pour écrire proprement un raisonnement pas récurrence ... ça imprime pas

Posté par
malou Webmaster
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 18:10

il me semblait bien...à sa décharge, il apprend seul...

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 18:12

ah d'accord... c'est pas évident effectivement.

je peux lui rédiger entièrement sa récurrence alors pour lui montrer ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 18:14

oui, bien sûr, tu peux essayer si tu penses que ce sera plus facile pour lui d'avancer sur ce type de démonstration

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 18:24

matheux14 : pour te montrer je vais la rédiger, en gardant ton idée de fonction f qui n'est pas mauvaise :

Pn : -1 an 3

montrons par récurrence que Pn est vrai pour tout n 0

initialisation  : comme tu as fait

hérédité :

supposons que pour un certain n 0 on ait Pn vrai, c'est à dire -1 an 3

soit f(x) = ... (la fonction que tu as définie) définie sur [-3/2 ; + [

tu as établi qu'elle est croissante... très bien

[-1 ; 3 ] [-3/2 ; + [

en appliquant le fonction f, croissante, aux trois membres de l'inégalité -1 an 3, l'ordre est conservé, donc

f(-1) f(an) f(3)

et on a f(an) = an+1 ; f(-1)=1 et f(3)=3

donc

1 an+1 3

et comme -1 1 , on a a fortiori

-1 an+1 3

donc Pn+1 est encore vraie.

conclusion :

on a montré par récurrence que, pour tout n 0, Pn vrai, c'est à dire -1 an 3

Posté par
carpediem
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 19:00

salut

maintenant que tout es fini on peut remarquer qu'on peut le faire simplement par une suite d'inégalités ...qu'on peut traduire à l'aide de fonction composée (notion qui revient un peu dans les programmes)

avec les notations précédentes f(x) = r o a(x) où r est la fonction racine carrée r(x) = \sqrt x et a la fonction affine x \mapsto 2x + 3

remarquer que :

1/ les fonctions a et r sont croissantes sur leur domaine de définition respectif
2/ a(x) = 2x + 3 = 2(x + 1) + 1
3/ a(x) = 2(x - 3) + 9

x \ge - 1 => a(x) \ge 1  d'après 1/ et 2/
a(x) \ge 1 => f(x) \ge 1 d'après 1/ et du fait que r(1) = 1
donc f(x) \ge -1 puisque -1 \le 1

x \le 3 => a(x) \le 9  d'après 1/ et 3/
a(x) \le 9 => f(x) \le 3  d'après 1/ et du fait que r(9) = 3



remplacer x par a_n pour rédiger proprement un raisonnement par récurrence ...

Posté par
matheux14
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 19:50

Merci à vous

Posté par
carpediem
re : Suite majorée , minorée. 15-04-21 à 21:17

de rien

Posté par
matheuxmatou
re : Suite majorée , minorée. 16-04-21 à 11:28

avec plaisir



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