Bonjour à tous,

J'espère que vous allez bien.

Je rencontre quelques difficultés sur des exercices de matrice de maths expertes. Voici l'énoncé :

A=

1. Déterminer la matrice carrée J d'ordre 3, telle que A=I3+J
2.Démontrer que pour tout entier naturel n3, J^n=0
3. Démontrer que pour tout entier n, A^n=I3 +nJ + n(n+1)/2 *J²
4. En déduire la matrice A^n en fonction de l'entier naturel n
5. Justifier que pour tout entier naturel n, A^n-I3 n'est pas inversible

On considère la suite (Un) de matrices colonnes d'ordre 3 définie par :
U0= et pour tout entier n Un+1=AUn+B avec B=

6. Déterminer une matrice colonne C d'ordre 3 telle que C=AC+B
7. Démontrer que pour tout entier naturel n, Un=A^n(U0-C)+C
8. Déterminer l'expression de Un en fonction de l'entier naturel n.

Voilà où j'en suis :

1.  Aucun soucis, je trouve J=

2. Pareil, je calcule jusqu'à les puissances de J et je trouve J^3=O3 donc pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, J^n=03

3. J'ai utilisé un binôme de Newton et je retrouve la formule.

4. A l'aide de l'expression de A^n, j'exprime la matrice en fonction de n je trouve A^n=

5.Je calcule A^n-I3, je trouve que la matrice correspondante à la première ligne avec des tous ses coefficients nuls, il n'existe donc aucune matrice tel que son produit avec la matrice A^n-I3 donne l'identité.

6. Je n'arrive pas à partir de cette question. En effet, lorsque je factorise par C, j'ai une matrice qui est non inversible donc je n'arrive pas à l'isoler. J'obtiens : (I3-A)C=B Or I3-A est une matrice non inversible, je ne vois donc pas comment on peut trouver une matrice C

7.
8.  Sans la matrice C, je ne peux pas faire la fin de l'exercice.

Pouvez-vous m'aider svp ? N'hésitez pas à me reprendre si la partie que j'ai faite n'est pas claire !

Merci d'avance.