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Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n

Posté par
Raymond22
15-03-22 à 08:00

Salut tout le monde, je suis nouveau dans ce forum et je suis heureux d'être parmi vous. Sinon j'ai rencontré un petit avec cette suite : U0 = 1 et Un+1=1/(2+Un) et on me demande de l'exprimer en fonction de n. J'ai essayé tout le methode mais j'ai pas pu et pour info elle n'est ni arithmetique  ni geometrique.
U1=1/3 et U2=3/7
MERCI

Posté par
carpediem
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 08:26

salut

si tu ne vois rien avec les deux premier termes alors peut-être serait-il nécessaire de calculer d'autres termes pour regarder et voir une relation ... à montrer ensuite ...

Posté par
Raymond22
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 08:55

j'ai calculé jusqu'à U5, U3=7/17 ET U4=17/41 mais rien ne me vient en tête

Posté par
carpediem
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 09:19

effectivement pas facile ...

cependant je vois que u_n = \dfrac p q et p = 2n + 1

à voir comment peut s'écrire q en fonction de n ...

Posté par
carpediem
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 09:20

ha non p ne marche pas pour n = 2 ... ni n = 1 ...

Posté par
carpediem
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 09:23

cette suite est positive et si elle admet une limite alors elle vérifie x^2 + 2x - 1 = 0

notons alors s la solution positive de cette équation et considérer la suite v_n = u_n - s ...

Posté par
alma78
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 11:52

Bonjour Raymond22,
Peux-tu vérifier l'énoncé de ton problème. Il y a certainement une erreur.
Je pencherais pour Un+1=Un/(2+Un)

Posté par
alma78
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 12:09

Rectification : je pencherais pour
Un+1=Un/(1+2Un)

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 13:14

Bonjour à tous,

  Si on pousse un peu les calculs, on tombe sur :

  u_n=\dfrac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}

  En terminale, il est douteux qu'on puisse poser sèchement la question :

  

Citation :
on me demande de l'exprimer en fonction de n.


et probable qu'il y a une erreur d'énoncé

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 13:30

Bonjour à tous,

Citation :
probable qu'il y a une erreur d'énoncé
ou quelques questions qui précèdent non recopiées

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 13:33

Bonjour Sylvieg,

Une première question possible serait :

  Montrer que u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}}(v_n) est la suite définie par :

  v_1=1,\qquad v_2=3, \qquad v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n

Posté par
Raymond22
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 21:09

Non y a aucune autre information, on m'a demandé à la première question de calculer les 5 premiers termes et à la deuxième question de conjecturer une expression de Un en fonction de n

Posté par
Raymond22
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 21:11

lake

cette expression est juste mais je me demande comment vous l'avez trouvé

Posté par
Raymond22
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 21:16

lake et svp que sera sa limite ??

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 21:33

Bonsoir Raymond22,

Comment trouver ?

En commençant par répondre à cette première question (que je rectifie bien que ce que j'ai écrit plus haut ne soit pas faux) :

  

Citation :
Montrer que u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}}(v_n) est la suite définie par :

  v_0=1,\qquad v_1=1, \qquad v_{n+2}=2v_{n+1}+v_n


  Ensuite, étudier la suite (v_n) soit :

   - en se renseignant par exemple ici : .

   - en répondant à de nouvelles questions ...

Quant à la limite, il semblerait que ce soit \sqrt{2}-1 mais il ne faut pas mettre la charrue avant les bœufs

Posté par
Raymond22
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 21:50

svp vous pouvez un peu m'expliquer la limite et MERCI vraiment

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 15-03-22 à 22:06

Je voulais te proposer un petit plan pour étudier cette suite.
Il commençait par cette première question que tu sembles ignorer.
Il est totalement inutile de parler de limite (finie) tant qu'on n'a pas montré  que cette suite était convergente ou qu'on ait obtenu une expression de u_n en fonction de n.
Je dois quitter.
Bonne soirée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 07:53

Bonjour,
Je crois me souvenir qu'il y a une méthode pour ce type de suite.
L'équation x = 1/(2+x) a deux solutions réelles a et b.
Utiliser la suite auxiliaire définie par vn = (un-a) / (un-b) qui est géométrique.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 08:56

Raymond22 @ 15-03-2022 à 21:09

Non y a aucune autre information, on m'a demandé à la première question de calculer les 5 premiers termes et à la deuxième question de conjecturer une expression de Un en fonction de n
Et il y a d'autres questions après ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 10:09

Raymond22 @ 15-03-2022 à 21:11

lake

cette expression est juste mais je me demande comment vous l'avez trouvé
Je me permets de répondre :
En commençant par s'intéresser aux dénominateurs des premiers termes de la suite (un).
un s'écrit \dfrac{w_{n}}{v_{n}} avec wn et vn entiers.
Chercher d'abord une relation entre vn+1, vn et wn, puis entre vn+1, vn et vn-1.
La généraliser.
Puis chercher l'expression de vn.

C'est plus abordable que la méthode que j'ai indiquée à 7h53.
Et plus en lien avec "calculer les 5 premiers termes et à la deuxième question de conjecturer une expression de Un en fonction de n"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 11:51

Je m'aperçois que lake avait déjà répondu à 21h33

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 13:24

Bonjour Sylvieg

  

Citation :
Je crois me souvenir qu'il y a une méthode pour ce type de suite.
L'équation x = 1/(2+x) a deux solutions réelles a et b.
Utiliser la suite auxiliaire définie par vn = (un-a) / (un-b) qui est géométrique.


  Et cette méthode a quelques avantages :

    - elle ne fait appel qu'à des notions connues en terminale (alors que l'autre passe par les suites linéaires du second ordre).

    - elle permet d'obtenir la formule u_n=(\sqrt{2}-1)\,\dfrac{1+(2\sqrt{2}-3)^n}{1+(2\sqrt{2}-3)^{n+1}} qui met en lumière la  limite.

  et un tout petit inconvénient : aucun lien avec une éventuelle conjecture suite au calcul des 5 premiers termes.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 13:51

Bonjour à tous,

je me demande tout de même comment on peut penser qu'il soit possible de conjecturer une telle formule (sous une forme ou une autre) avec des racines carrés irrationnelles pour obtenir des fractions rationnelles (tous les un sont des fractions rationnelles !)...

déterminer, oui (et ça dépend du niveau, surtout sans "feuille de route" dans l'énoncé !) , mais conjecturer j'en doute !

Posté par
lake
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 14:18

Bonjour mathafou,

Ce qu'on peut "conjecturer", c'est une formule de récurrence (d'ordre 2) pour le numérateur et le dénominateur.
Après, vogue la galère ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Suite ni arithmetique ni géométrique en fonction de n 16-03-22 à 14:25

oui ça je suis d'accord

mais ça ne donne pas grand chose sur conjecturer un en fonction de n ...



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