Salut

Je trouve u(1000) = 45.024524604278289131

Mais il y a sûrement mieux comme méthode qu'un calcul à l'ordinateur !

jean-émile

Je pense que ce qu'il faudrait faire c'est trouver l'expression de Un en fonction de n...mais je n'y suis pas arrivée . Je cherche toujours...

Bon ce que j'ai pu réaliser peut-être que ça va vous aider
(Un+1)² = (Un)²+(1/Un)² +2
donc
(Un+1)²>(Un)² +2
et ainsi
(Un)²>(Un-1)² + 2 et aisni de suite donc :
(Un+1)²> (U0)² +2n
donc
(U1000)²> 25 + 2*1000
(U1000)²>2025
donc
(U1000)>45 !!
mais pour 45.1 il faut prouver que
(1/Un-1)²< a quelque chose

Salut, en fait je trouve et pas (on peut le montrer par récurrence sur n). Sinon, la suite de ton raisonnement m'a l'air bonne et on arrive bien à .
Par contre il faut bien préciser qu'on a parce que pour tout (étant donné qu'on somme des nombres positifs), sinon l'inégalité n'est pas toujours vraie .

En calculant les termes à la main, on voit que l'on peut se ramener à deux suites : et définies par :
    
avec :
    

Peut-être qu'en passant par les complexes ...

Bon on a :
(Un+1)² = (Un)² +(1/Un)² +2
ce qui gène c'est (1/Un)²
donc si l'on fait  pareil
0<(1/Un)²<1
donc (Un)² +2 < (Un+1)² < 1+2+ (Un)²
de la même sorte que toute à l'heure on arrive a
(Un+1)²<3n + (U0)² (récurrence)
et donc
(Un+1)²<3025
n€ N donc Un+1>0
et ainsi on a
(U1000)<55
mais c'est loin
la question est de prouver qu'il est limite de 45<U1000<45.1