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Suite par récurrence
Bonjours, je m'excuse de vous déranger, seulement, j'ai un petit probléme avec mon exercice de maths.
Voici l'enoncer, soit un=1^3+2^3+....+n^3=n²(n+1)²/4
A démontrer par récurrence
Voici ce que j'ai fait:
Soit Pn: un=1^3+2^3+...+n^3= n²(n+1)²/4
Initialisation:
Soit P1= 1^3=1²(1+1)²/4
P1= 1= 1(2)²/4
Soit P1= 1=1
Donc P1 est vrai.
Hérédité:
Supposons Pn= 1^3+2^3+...+n^3=n²(n+1)²/4 vraie
On veut montrer que Pn+1 est vraie c'est a dire: Pn+1=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= (n+1)²(n+2)²/4
En effet: 1^3+2^3+...+n^3= n²+(n+1)²/4
Et la, je suis coincer je ne sais pas quoi faire, quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait?
Bonsoir, En utilisant ton hypothèse de récurrence ,13+23+...+n3+(n+1)3=n²(n+1)²/4+(n+1)3
maintenant il faut que tu arranges ça, met (n+1)² en facteur
Bonjour,
pour initialisation
sépare les calculs
1^3=1
et 1²(1+1)²/4=1
==> la proposition est vérifiée au rang
hérédité
1^3+2^3+...+n^3= n².(n+1)²/4
1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(n².(n+1)²/4) +(n+1)^3
tu calcules
Je n'arrive pas a mettre (n+1)² en facteur.
Et pourquoi part on de ce que l'on veut démontrer?
Je m'excuse, je ne suis pas trés forte en maths.
on part de l'expression dont on veut montrer qu'elle vaut (n+1)²(n+2)²/4 comme tu l'as si bien dit.
Ça n'est pas très dur de mettre (n+1)² en facteur dans (n².(n+1)²/4) puis dans (n+1)^3, tu es en terminale quand même.
Oui, enfin redoublante de terminale, car je n'ai pas eu mon bac.
Et mes notes de l'année derniére était 1.
Mon probléme n'est pas de factoriser par (n+1)² seulement, je ne voie pas ce qu'il faut factoriser.
un petit effort !
(n².(n+1)²/4) = (n+1)²(n²/4) et (n+1)3=(n+1)2(n+1)
donc (n²(n+1)²/4) +(n+1)^3 = ???? tu sais quand même mettre quelque chose en facteur AB+AC=A(B+C) ?
Oui, ca je sais faire, je suis nul en maths mais j'ai quelques régle élémentaire.
Donc, si j'ai bien compris:
n²(n+1)²/4+(n+1)^3= (n+1)²(n+1)+(n+1)²n²/4
= 4(n+1)²(n+1)+(n+1)²n²/4
= (n+1)²(4n+4+n²)/4
= (n+1)²(n+2)²/4
C'est bien ca?
D'accord, merci beaucoup pour votre aide et votre gentilesse.
J'ai maintenant compris.
Merci beaucoup.
bonsoir tour le monde
j'ai a peine vu cet exo
pouvez-vous m'expliquer comeent vous avez fait pour ça
1^3+2^3+...+n^3= n².(n+1)²/4
1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(n².(n+1)²/4) +(n+1)^3
merciii d'avance
Bonjour
ça c'est simplement la base de l'utilisation de l'hypothèse de récurrence, et aussi une utilisation d'une règle de calcul très très complexe :
a=b donc a+c=b+c
Excusez moi, c'est une urgence.
je n'ai pas compris les transitions entre chacunes de ces expressions... Quelqu'un peut m'aider dans la panique ?
n²(n+1)²/4+(n+1)^3= (n+1)²(n+1)+(n+1)²n²/4
= 4(n+1)²(n+1)+(n+1)²n²/4
= (n+1)²(4n+4+n²)/4
= (n+1)²(n+2)²/4
:(
C'est assez clair pourtant ? on a simplement mis (n+1)² en facteur.
Quelle transition ne comprends-tu pas ?
En fait Je vois un n^2 qui pop d'un coup, quelque chose qui ressemble à une identité remarquable mais qui n'en est vraisemblablement pas une et un x4 qui, je suppose n'est qu'une adaptation au dénominateur mais qui ne fait aucun sens dans mon esprit...
J'aurai peut être dû faire L mdr
n²(n+1)²/4+(n+1)3=(n+1)²n²/4 + (n+1)²(n+1)
ici on remplace juste (n+1)3 par (n+1)²(n+1) (effectivement, A3 = A²*A)
= (n+1)² [ n²/4 + (n+1) ] on a mis (n+1)² en facteur
= (n+1)²( n² + 4n + 4)/4 on a mis les 3 termes n²/4 ; n et 1 au même dénominateur
= (n+1)²(n+2)²/4 on a reconnu que n²+4n+4 était de la forme a²+2ab+b² avec a=n et b=2
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