Si j'essaie par récurrence je prouve que pour u0 la propriété est vraie:
u0>0²  
1>0

Mais pour demontrer l'hérédité, c'est un problème ...
il faut que je prouve que pour k un entier naturel:
si uk>k² alors uk+1>(k+1)²

J'aimerai vraiment avoir une reponse :s

Supposons que U(n) > n² pour une certaine valeur de n.

On a alors U(n) > n²

U(n) + 2n + 3  > n²+ 2n + 3
U(n+1) > n²+ 2n + 3
U(n+1) > (n + 1)² + 2
et donc a fortiori :
U(n+1) > (n + 1)²

Donc si U(n) > n² pour une certaine valeur de n, on a aussi
U(n+1) > (n + 1)²    (1)

U(0) = 1 --> on a U(n) > n² pour n = 0

Comme U(n) > n² pour n = 0, par (1), on a aussi U(n) > n² pour n = 1.
Comme U(n) > n² pour n = 1, par (1), on a aussi U(n) > n² pour n = 2.
Comme U(n) > n² pour n = 2, par (1), on a aussi U(n) > n² pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, U(n) > n² pour tout n de N.
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Sauf distraction.  

merci beaucoup
Ce n'était pas bien difficile, mais pourquoi je n'arrive pas a raisonner par moi même

Par contre pour conjecturer une espression de Un quelqu'un pourrait m'expliquer comment il faut se debrouiller?

On calcule quelques termes de la suite, on a:

U(0) = 1
U(1) = 4
U(2) = 9
U(3) = 16
U(4) = 25

On regarde et on essaie de "voir" comment le machin se comporte.

Ici on "conjecture" que: U(n) = (n+1)²

C'est à dire qu'on pense que c'est l'expression qui convient, il restera à montrer que c'est bien vrai ...
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Sauf distraction.  

Mais je ne vois vraiment rien moi parce que je les avais calculé u1, u2, u3,u4 mais après pour conjecturer il n'y a pas de méthode a proprement parler il faut juste "voir" par rapport aux resultats obtenus...
et (n+1)² je ne l'avais pas du tout vu :s
merci

maintenant il ne me reste plus qu'à démontrer ce que je viens de conjecturer...