Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Suite racines carrées
Bonjour j'ai un petit problème je n'arrive pas à démarrer dans cet exercice!
La suite définie pour tout entier naturel non nul par:
Un= racine(2+racine(2+racine(2+...racine(2))))^( n racines carrées )
Est-elle convergente?
On fait quelques calculs, on regarde ce qui se passe, et on a bien l'impression qu'elle est majorée par 2. Ensuite, on le PROUVE! Mais tu peux aussi bien démontrer par récurrence qu'elle est majorée par 3 ou 4, ou ce que tu veux (plus grand que 2)
Tu peux le faire par récurrence si c'est ce que tu demandes, mais pour le voir j'ai fait :
Un+1^2 - Un^2 tu arrives à 2+Un-Un^2.
C'est une équation du second degré, tu peux donc calculer les racines. Ce sont -1 et 2.
Donc Un+1^2 - Un^2 = -(Un+1)(Un-2)
Comme Un est croissante, c'est positif. Donc comme Un est toujours positive tu as obligatoirement Un < 2
Pour le voir, tu essaye de comparer Un+1 et Un. Ici par exemple, tu te rends compte que pour passer au rang suivant, tu rajoute 2 et tu met le tout sous une racine.
Sinon, tu peux aussi voir que si tu mets Un au carré et que tu retires 2, tu te rends compte que tu as Un-1.
Annuler
connectez vous