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suite raisonnement par recurrence

Posté par
martoche
04-11-23 à 07:25

Bonjour
Je ne parviens pas à effectuer une démonstration par récurrence
et voici le sujet
Soit Un=((n/10)-1)n
Démontrer que un

>
2n
j'ai réussi l''initialisation.
Mais pour l''heredité, je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci d avance pour l aide que vous allez m apporter.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:05

Bonjour,
Peux-tu vérifier ton énoncé ?
Avec ce qui est écrit dans ton message, u10 = 0.
Ce n'est pas vraiment supérieur à 1024.

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:08

je m excuse.
voilà la question
démontrer qu à partir d un certain rang Un

>
2^n.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:13

Qu'as-tu fait comme initialisation ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:15

Il me semble inutile d'utiliser une récurrence.

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:19

pour l initialisation j ai procédé à partir du rang 30
au rang 30, l initialisation est vraie
je ne vois pas comment continuer après

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:20

au rang 30, u30 = 2^30

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:26

Je confirme qu'une récurrence est inutile.
Que peut-on dire de \; (n/10)-1 \; quand \; n 30 \; ?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:31

(n/10) - 1

>
ou égal à 2

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:35

j ai bien compris. y aurait il une demonstration à faire pour trouverle rang 30??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:36

Inutile de passer à la ligne.
Le symbole \; \; est accessible à partir du bouton "" sous la zone de saisie.

Que peut-on en déduire pour \; ((n/10) - 1)n \; ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:38

Messages croisés.
As-tu justifié le passage à l'exposant n ?

Après ta réponse, je répondrai à ta dernière question.

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:45

n est un entier naturel
ainsi
((n/10)-1)2
d où
((n/10)-1)n2n
Ainsi un2n

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:47

Peut-être évoquer le sens de variation d'une certaine fonction ?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:47

Pour la jusitification de la puissance,
n etant un entier naturel
pour a

<
b
an<bn
est ce une justification valable?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 08:48

de la fonction exponentielle?,

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 09:18

Par quelle fonction passe-t-on de \; a \; à \; an \; et de \; b \; à \; bn \; ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 09:19

La fonction exponentielle ferait passer de \; a \; à \; ea .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 09:20

Je m'absente une petite demie heure.

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 09:21

ou de la fonction f(x) = ax
mais de telle fonction n ont pas été étudié en classe

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 04-11-23 à 09:44

Ce n'est pas ça.
Il ne s'agit pas de passer de \; n \; à \; an , mais de \; a \; à \; an et de \; b \; à \; bn .

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 05-11-23 à 12:13

Si j ai bien compris  pour deux reels a et b tel que a1 et b 1, et tel que ab  alors est il possible de dire que anbn?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 05-11-23 à 15:59

Oui.
Mais je cherche à t'en faire trouver la justification en utilisant la croissance d'une fonction.

Plus simple :
Saurais-tu justifier ce que j'écris ci-dessous ?
Si \; a b \; alors \; a3 b3 \; ?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 07-11-23 à 14:25

non il faudrait m éclaircir un peu.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 07-11-23 à 17:22

Par quelle fonction passe-t-on de \; a \; à \; a3 \; et de \; b \; à \; b3 \; ?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 12:06

on peut passer en utilisant la fonction cube.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 12:35

Oui, fonction qui se définit par f(x) = x3 pour tout x réel.
Et dont on sait qu'elle est croissante sur .

Quelle fonction croissante sur [0;+[ peut-on utiliser quand on remplace l'exposant 3 par n ?

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 15:51

Je pense avoir compris. Toutes les fonctions du type xnmai s mais avec un n3, et n impair sont croissantes sur  [0;+

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 15:58

en fait pour tout n 2 sur o , + la fonction xn est toujoirs croissante
merci vraiment pour l aide.
Si possible quelques éclaircissements pour le 30

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 16:05

plutot pour n1

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 16:08

car la droite y=x sur o, + est une fonction croissante

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 08-11-23 à 21:02

La droite y =x est une droite, pas une fonction.
On peut parler de la fonction x x .

Pour n entier naturel, les fonctions x xn sont croissantes sur [0;+[.

un 2n ((n/10)-1)n 2n.
Ce qui est vérifié pour (n/10) - 1 2.
A partir de là, tu peux trouver n 30.

Posté par
martoche
re : suite raisonnement par recurrence 10-11-23 à 10:16

merci beaucoup.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : suite raisonnement par recurrence 10-11-23 à 12:27

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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