Niveau terminale

Suite - recurrence

Posté par patrickd (invité) 12-11-04 à 14:56

Bonjour pouvez vous m'aider pour les questions des suites de mon DM pour lundi .d'avance merci
On pose C à = 2 et pour tout N >= 0
c _n+1 = (C_n² +1 ) / (2 C_n -1)

1 - Calculer C1 et C2
2 on pose pour tout x > 1/2 , f(x)= (x² + 1) /(2x-1)
Verfier que f(phi) = phi et f'(phi) =0 puis montrer que la fonction est croissante sur l'intervalle [phi,+infini[
b) en deduire que pour tout n >=0
phi <=c _n+1 <= c_n <= 2 (recurrence)
c) prouver alors que C _n est convergente
3) Montrer que pour tout N >=0
0 <= c_n - phi <= (1/2) ^{1+2+2 [sup]}2 +... 2^{[/sup] n} avec raisonnement par recurrence
Quelle est la limite de Cn ?

Posté par re : Suite - recurrence 12-11-04 à 15:05

Pas la peine de te créer plusieurs comptes pour poser tes questions sur le nombre d'or
premier topic

Posté par nicos (invité)avoir de la patience 13-11-04 à 15:36

Mon Dm est pour Lundi et je comptais sur votre aide pour m'aider à le faire.
Pourriez vous essayer meme si le sujet ne vous interesse pas beaucoup et je vous comprend si c'est le cas.
A bientot et merci d'avance.

Posté par re : Suite - recurrence 13-11-04 à 22:31

Salut ,

Je vais faire de mon mieux afin de t'aider pour ce problème .
C'est parti .

La suite (Cn) est définie par :

$2$\rm~\{{C_0=2\\pour~tout~n\geq2,~C_{n+1}=\frac{{C_n}^2+1}{2C_n-1}}$

1)Calculer C1 et C2.
Bon, bah ici, c'est pas sorcier quand même . Il suffit d'utiliser la relation de récurrence.
D'après celle-ci, on a :

$2$\rm~C_{1}=\frac{{C_0}^2+1}{2C_0-1}$
d'où   $2$\rm~C_{1}=\frac{2^2+1}{2\times2-1}$
càd   $2$\rm~C_{1}=\frac{4+1}{4-1}$
donc   $2$\rm~C_{1}=\frac{5}{3}$

De même, pour C2, on a :

$2$\rm~C_{2}=\frac{{C_1}^2+1}{2C_1-1}$
d'où   $2$\rm~C_{2}=\frac{(\frac{5}{3})^2+1}{2\times(\frac{5}{3})-1}$
càd   $2$\rm~C_{2}=\frac{\frac{25}{9}+\frac{9}{9}}{\frac{10}{5}-\frac{3}{3}}$
ainsi   $2$\rm~C_{2}=\frac{\frac{34}{9}}{\frac{7}{3}}$
donc   $2$\rm~C_{2}=\frac{34}{9}\times\frac{3}{7}$
donc   $2$\rm~C_{2}=\frac{34}{21}$

Et voilà pour la première .

2)On pose pour tout   $2$x>\frac{1}{2}$ ,   $2$\rm~f(x)=\frac{x^2+1}{2x-1}$ .
a- Vérifier que   $2$\rm~f(\phi)=\phi$   et que   $2$\rm~f'(\phi)=0$ ,  puis montrer que f est croissante sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ .

Il faut tout d'abord savoir que   $2$\rm~\phi$   désigne le nombre d'or qui est la solution positive de l'équation :
$2$\rm~x^2-x-1~=0$
càd le nombre :   $2$\rm~\frac{\sqrt{5}+1}{2}~\approx~~1,61803$
L'autre solution de cette équation est n';egative et égale à : $2$\rm~-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

On peut à présent faire la questions :

$2$\rm~f(\phi)=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2+1}{2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-1}$
$2$\rm~f(\phi)=\frac{(\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4})+1}{1+\sqrt{5}-1}$
$2$\rm~f(\phi)=\frac{(\frac{6+2\sqrt{5}+4}{4})}{\sqrt{5}}$
$2$\rm~f(\phi)=\frac{(\frac{5+\sqrt{5}}{2})}{\sqrt{5}}$
$2$\rm~f(\phi)=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(5+\sqrt{5})}{2}}$
$2$\rm~f(\phi)=\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$
$2$\rm~f(\phi)=\phi$

Déterminons à présent la fonction f' dérivée de f. On a :

$2$\rm~f=\frac{u}{v}~~i.e~~f'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$

avec : $2$\rm~u(x)=x^2+1$   ie   $2$\rm~u'(x)=2x$
       $2$\rm~v(x)=2x-1$   ie   $2$\rm~v'(x)=2$

Ainsi, on obtient donc :

$2$\rm~f'(x)~=~\frac{2x(2x-1)-2(x^2+1)}{(2x+1)^2}$
d'où   $2$\rm~f'(x)~=~\frac{4x^2-2x-2x^2-2)}{(2x+1)^2}$
càd   $2$\rm~f'(x)~=~\frac{2x^2-2x-2)}{(2x+1)^2}$
donc   $2$\rm~f'(x)~=~\frac{2(x^2-x-1))}{(2x+1)^2}$

Or, par définition, le nombre d'or   $2$\rm~\phi$   est solution de l'équation : $2$\m~x^2-x-1=0$ .
Donc :

$2$\rm~f'(\phi)~=~\frac{2\times0)}{(2(\phi)+1)^2}~=~0$

Sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ , on a :

$2$\rm~2x+1~\geq~~0$
et   $2$\rm~(x^2-x-1)~\geq~~0$    (car un polynôme du second degré est du signe du facteur de x² à l'extérieur des racines)

donc   $2$\rm~\frac{2(x^2-x-1))}{(2x+1)^2}~\geq~~0$
càd   $2$\rm~f'(x)~\geq~~0$

insi, sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ , la fonction f'dérivée de f est strictmenet croissante et il n'y a pas de "valeur interdite", donc f est croissante sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ .

Conclusion : $2$\rm~f(\phi)=\phi$ ,   $2$\rm~f'(\phi)=0$   et  f est croissante sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ .

b- En déduire, par recurrence, que pour tout   $2\rm~n\geq0$ , on a :   $2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$ .
On nous demande un raisonemment par récurrence, alors c'est parti .

*Initiallisation : Au rang n=0, on a :
$2$\rm~C_0~=~2$
$2$\rm~C_1~=~\frac{5}{3}~\approx~1,66$
Ainsi, au rang n=0, on a bien :   $2$\rm~\phi~\leq~~C_1~\leq~~C_0~\leq~~2$ .

*Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang n fixé, càd que : $2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$ .
Démontrons que dans ce cas, la propriété est également vérifiée au rang "n+1", càd que :
$2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+2}~\leq~~C_{n+1}~\leq~~2$ .
On a, selon l'hypothèse de récurrence :

$2$\rm~C_{n+1}~\leq~~C_n$
et
$2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n$

Du fait que la fonction f est croissante sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ , on a :

$2$\rm~f(C_{n+1})~\leq~~f(C_n)$

or   $2$\rm~f(C_{n+1})~=~C_{n+2}$   et   $2$\rm~f(C_n)~=~C_{n+1}$ .

1ère Conclu : On a donc bien :
$2$\rm~C_{n+2}~\leq~~C_{n+1}$

Or, selon notre hypothèse de récurrence :

$2$\rm~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$

2ème Conclu : On a donc bien :
$2$\rm~C_{n+2}~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$

Toujours selon not hypothèse de récurrence, on a :

$2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+1}$

Du fait que $2$\rm~f(\phi)=\phi$ et que f est croissante sur l'intervalle   $2$\rm~[\phi;+\infty[$ , on a :

$2$\rm~f(\phi)~\leq~~f(C_{n+1})$
càd   $2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+2}$

3ème Conclu On a donc finalement bien   $2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+2}~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$ ,  ce qui traduit que la propriété est héréditaire.

Conclusion : La propriété est vérifiée au rang n=0 et est héréditaire. Pour tout   $2$\rm~n\geq0$ , on a donc bien :   $2$\rm~\phi~\leq~~C_{n+1}~\leq~~C_n~\leq~~2$

c- Prouver alors que (Cn) est convergente.
(Cn) est décroissante (cf question précédente) et est minorée. Elle converge donc obligatoirement.  (ça fait plaisir des réponses courtes et sans le langage latex à taper ).

3)Montrer par récurrence que pour tout   $2$\rm~n\geq0$ :   $2$\rm~0~\leq~~C_n-\phi~\leq~~(\frac{1}{2})^{1+2+2^2+...+2^n}$

Dsl, mais là, je n'arrive pas à trouver, je bloque.
Cependant, si tu n'y arrives pas non plus, pour la suite de la question, tu admettras cela juste.
On a :

$2$\rm~0~\leq~~C_n-\phi~\leq~~(\frac{1}{2})^{1+2+2^2+...+2^n}$
d'où   $2$\rm~0~\leq~~C_n-\phi~\leq~~(\frac{1}{2})^{2^{n+1}-1}$

Or,   $2$\rm~2^{n+1}$   est une suite géométrique de raison 2, càd de raison supérieur à 1, et diverge donc en   $2$+\infty$ .
De plus   $2$\rm~(\frac{1}{2})^{N}~~~~avec~N=2^{n+1}-1$   est une "sorte" de suite géométrique de raison 1/2, càd comprise entre -1 et 1, raison pour laquelle elle converge vers 0 lorsque N diverge en $2$+\infty$ .

Ainsi, on a donc :
$2$\rm~\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{2})^{2^{n+1}-1}~=~0$

d'òu   $2$\rm~\displaystyle~0~\leq~~\lim_{n\to+\infty}(C_n-\phi)~\leq~~0$
on en déduit   $2$\rm~\displaystyle~\lim_{n\to+\infty}(C_n-\phi)~=~0$

d'où   $2$\rm~\displaystyle~\lim_{n\to+\infty}(C_n)~=~\phi$

Conclusion : (Cn) converge vers le nombre d'or (c'est pas beau ça )

Voilà, j'espère que cela pourra déjà t'aider .

À +

Posté par lll2 (invité)re suite récurrence 14-10-06 à 19:18

Bonjour,
j'ai cherché sur le forum les sujets pouvant se rapporter à mon dm de maths. J'ai à peu près le même exercice que celui proposé ici. et comme précedemment, je bloque pour prouver que: 3) Montrer que pour tout N >=0
0 <= cn - phi <= (1/2) 1+2+2 2 +... 2 n avec raisonnement par recurrence
toutefois, j'ai une question suplémentaire qui précède celle-ci et peut sans doute aider à sa résolution: Montrer que pour n 0 : C(n+1)- (1/2)(Cn - )²

le seul problème, c'est qu'à chaque fois que j'essaie de prouver cete inégalité, il y a toujours l'un des côtés qui neva aps, soit l'un soit l'autre. Pourriez-vous me donner quelques pistes? car à part réutiliser C(n+1)Cn2 .... je ne vois aps commetn faire.
Merci d'avance.

Posté par lll2 (invité)re : Suite - recurrence 15-10-06 à 18:45

finalement pour démontrer que C(n+1)-(1/2)(Cn-)² ... il suffit de développer à droite et à gauche (mettre sous le même dénominateur, cad (2Cn-1)... on remarque alors en comparant les deux nominateurs qu'ils sont égaux...et que le dénominateur Cn-1 est plus grand que 2 donc on trouve bien l'inégalité...
mais pour la sutie je bloque toujours... merci de me donner un petit coup de main...

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