Bonjour, par exemple "10ⁿ-1 est un multiple de 3" est vrai pour n=1 puisque 9 est un multiplie de 3
Suppose le vrai pour n et montre que c'est encore vrai pour n+1

10ⁿ⁺¹-1=1010ⁿ-1 mais on sait que "10ⁿ-1 est un multiple de 3", c'est notre hypothèse de récurrence donc il existe k tel que 10ⁿ-1=3k 10ⁿ=3k+1 et donc si on remplace dans 1010ⁿ-1 =10(3k+1)-1=30k+9=3(10k+3) et on voit que c'est encore un multiplie de 3

Bonjour,

Pour montrer qu'une proposition P(n) est héréditaire, il faut partir de l'hypothèse que P(n) est vraie et montrer qu'alors P(n+1) est vraie aussi.

Posons P(n)="10ⁿ-1 est un multiple de 3". Alors P(n+1)="10ⁿ⁺¹-1 est un multiple de 3".

Calculons 10ⁿ⁺¹-1 = 10.10ⁿ-1 = 9.10ⁿ⁺¹ + 10ⁿ - 1 = 3.(3.10ⁿ⁺¹) + 3k (d'après P(n) vraie) qui est bien un multiple de 3.

On a bien montré que P(n+1) est vraie aussi.

Je te laisse faire l'autre ?

Merci beaucoup j'ai compris!! en fait je pensais que les deux expressions devaient avoir un lien entre elles, c'est pour ça que je ne comprenais pas
Donc pour "10ⁿ+1 est un multiple de 9":
On pose P(n)= "10ⁿ+1 est un multiple de 9"
Alors P(n+1)= "10ⁿ⁺¹+1 est un multiple de 9"
Calculons 10ⁿ⁺¹+1= 10ⁿ*10+1
Il existe un réel k tel que 10ⁿ+1=9k équivaut à 10ⁿ=9k-1
On remplace dans 10*10ⁿ+1:
=10(9k-1)+1=90k-9=9(10k-1)
On voit que c'est un multiple de 9
Donc l'expression "10ⁿ+1 est un multiple de 9" est vraie pour n et pour n+1; elle est donc héréditaire.

Ensuite comment fait on pour démontrer qu'elles sont vraies pour tout entier naturel n??

Il faut déjà trouver un nombre n pour lequel elles seraient vraies.

Bonsoir,
je viens de lire les précédents messages et ai compris la réponse à la question 1
J'ai cet exercice à rendre en DM pour demain et je ne vois pas comment résoudre la deuxième question a savoir : sont-elles vraies pour tout entier naturel n ?

merci d'avance
lacryzz

Bonjour
regarde pour n=0

Ah j'ai compris
Mais donc ça veut dire qu'il faut juste donner un contre exemple c'est bien ça ?
J'ai cru qu'il fallait faire une démonstration par récurrence

la première question  ne  concerne que l'hérédité   d'un raisonnement par récurrence
la seconde   concerne l'initialisation  et la conclusion.

Ok merci beaucoup

En fait j'ai un petit problème :
J'ai regardé pour n=0 et je me rend compte que les deux propositions marchent.
Mais donc comment prouver que les deux propositions sont vraies pour tt entier n ?

montre tes calculs
divisible par 3  ?
10^0-1=......
divisible  par 9?
10^0+1=......

alors :

10^0 -1 = 1-1 = 0 qui est un multiple de 3

10^0 +1 = 1+1 = 2 qui n'est pas un multiple de 9

donc la première proposition est vraie pour tt entier naturel n
la proposition deux est vraie pour pour tout entier naturel non nul

c'est bien ça ?

OK  
initilisation
10^0 -1 = 1-1 = 0 qui est un multiple de 3

hérédité  
10^n-1 est un multiple de 3

conclusion

.........
2ème
10ⁿ+1 est un multiple de 9"  voir ( hérédité)

n=0 ne convient pas
essaie n=1...



.

Mais ce que je comprends pas c'est ce que en calculant les premiers termes de la 2è proposition, je me rend compte que aucun terme n'est multiple de 9.

10^1+1 = 11 ( pas un multiple de 9)
10^2+1 = 101 (pareil)
10^2+1 = 1001 (pareil)
.…
10^7+1 = 10 000 001 (pareil)

or on a prouvé que cette proposition est vrai (elle est héréditaire)
donc je comprends plus rien
merci pour l'aide que vous m'apporterez

conclusion
Si on n'a pas initialisé la proposition  ,alors on ne pas conclure que la proposition est vraie

raisonnement par récurrence
3 étapes
initialisation
on vérifie que la proposition est vraie à un rang n₀, appartenant à
hérédité
on suppose que la proposition est vraie au rang n ,  n≥n₀
et on montre qu'elle est vraie au rang n+1
conclusion
la proposition est vraie au rang n₀  ,et elle héréditaire , elle est  vraie pour tout n≥n₀

remarque  
Quelle est la somme des chiffres d es nombres 10ⁿ⁺1......
initialisation .......

Ah mais c'est aussi bête que ça ?
Donc du coup la proposition une est vraie pour n entier naturel et la proposition 2 est fausse.
Ok merci beaucoup

Heu par contre je vois pas trop ce que tu veux dire par ta remarque
Tu veux le prouver ou l'ecrire sous forme de sigma ?

Au collège  
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est .............

est divisible par 9.

Oui