proposition, avec une récurrence :
d'une part : 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= ( 1+2+3+..+n)² +(n+1)^3
d'autre part : ( 1+2+3+..+n+(n+1))² = (....)² +2(.......)(n+1) + (n+1)²
avec 1+2+3...+n=n(n+1)/2 on arrive à "la même chose"...

Bonsoir
Dans une démonstration par récurrence on regarde si la proposition est vraie pour la (voir les) plus petite(s) de n
c'est le cas ici car 1³ + 2³ = (1 + 2)²  = 9    n = 2
ensuite on suppose qu'elle vraie pour n  => hyp. 1³ + 2³ + 3³ +.... + n³ = ( 1+2+3+...n)²
et on démontre qu'elle vraie pour   n+1  => thèse 1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ + (n+1)³ = ? ( 1+2+3+... + n + n+1 )²
en effet
1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ + (n+1)³  = (1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ )+ (n+1)³
= ( 1 + 2 + 3 + .... + n)² + (n+1)³  par hypothèse
= [ n.(n+1)/2 ]² + (n+1)³  car ( 1+2+3+... +n) = n(n+1)/2 comme garnouille te l'a écrit
= (n+1)²[ n²/4 + (n+1)] = (n+1)²(n²+4n+4)/4 = (n+1)²(n+2)²/4 = [ (n+1).(n+2)/2]² =
= (1 +2 + 3 + ....n + n+1 ) ² ( même formule que celle de garnouille)
A+