pour la question 2b) vous aurez compris que le n a la fin est en exposant
3(2/3)exposant n

voila c tout
dsl

2)
a)

U(n+1) = V(2U(n)+3)  avec V pour racine carrée.

3-U(n+1) <=? (2/3)(3-U(n))    (1)
3-U(n+1) <=? 2 - (2/3)U(n)
-U(n+1) <=? -1 - (2/3)U(n)
U(n+1) >=? 1+(2/3).U(n)
V(2U(n)+3) >=? 1+(2/3).U(n)
Les 2 membres de l'inéquation à démontrer sont positifs -> on peut éléver au carré sans changer le sens de l'inéquation.

2U(n)+3 >=? (1+(2/3).U(n))²
2U(n)+3 >=? 1+(4/9).(U(n))²+(4/3).U(n)
0 >=? (4/9).(U(n))² - (2/3)U(n) - 2
(4/9).(U(n))² - (2/3)U(n) - 2 <=? 0
4(U(n))² - 6U(n) - 18 <= 0
4(U(n) -3).(U(n) + (3/2) <=? 0   (2)

Donc démontrer (1) est équivalent à démontrer (2).

Or comme 0 <= U(n) <= 3, tableau de signes sur (2) -> (2) est réalisée.
Et donc (1) est réalisée.

On a alors démontré que 3-U(n+1) <= (2/3)(3-U(n))
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b)
Supposons que 3-U(n) <= 3.(2/3)^n soit vrai.
On a alors:
(2/3).(3-U(n)) <= (2/3).3.(2/3)^n
(2/3).(3-U(n)) <= 3.(2/3)^(n+1)

Or on a montré que 3-U(n+1) <= (2/3).(3-U(n)), on a donc :

3-U(n+1) <= 3.(2/3)^(n+1)
Mais ceci est l'expression 3-U(n) <= 3.(2/3)^n dans laquelle n a été remplacé par n+1.

On a donc montré que si l'expression 3-U(n) <= 3.(2/3)^n est vraie pour une certaine valeur de n, elle est encore vraie pour n+1.

Or 3-U(n) <= 3.(2/3)^n est vraie pour n = 0. (car 3-0 <= 3.(2/3)^0 -> 3 <= 3))

Comme 3-U(n) <= 3.(2/3)^n est vraie pour n = 0, elle est vraie pour n = 1.
Comme 3-U(n) <= 3.(2/3)^n est vraie pour n = 1, elle est vraie pour n = 2.
Et ainsi de proche en proche, 3-U(n) <= 3.(2/3)^n est vraie pour tout n de N.
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3-U(n) <= 3.(2/3)^n
lim(n-> oo) [3-U(n)] <= lim(n->oo) [3.(2/3)^n]
lim(n-> oo) [3-U(n)] <= 0
lim(n-> oo) [-U(n)] <= -3
lim(n-> oo) [U(n)] >= 3

Or on sait 0 <= U(n)<= 3 (démontré au début) ->
lim(n-> oo) [U(n)] = 3
U(n) converge donc vers 3.
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Sauf distraction.  

Salut geppeto ,

Alors c'est parti, accroche-toi .
Tout d'abord, je réécris par quoi est définie ta suite car tu as oublié les parenthèse pour la racine carrée (pas étonnant après que certains n'arrivent pas à t'aider ). (Un) est définie par :



Alors, entamons les questions qui te posent problème :

2)a) Montrons que pour tout , on a : .

Pour montrer cela, on va partir de la définition par récurrence de la suite (Un) :



Supprimons la racine carrée qui nous gêne en élevant les deux memebres au carré :



Ici en fait on se retrouve face à un autre problème . Certes, on a supprimé la racine carrée, mais on se retrouve avec alors que c'est seulement qui nous intéresse. On va être astucieux et faire disparaitre ce caré par une identité remarquable :







Ça ressemble déjà plus à ce que l'on veut montrer n'est-ce pas ? Ici, il nous reste juste à faire apparaitre un "divisé par 3"à droite et à virer le . Pour ce, faire, on va utiliser ce que tu as démontrer plus tôt à savoir que pour tout : .
On va procéder par encadrements. On a :

(car (n+1) est un entier naturel aussi)
d'où

On peut à présent en revenir à notre démo :



Or , d'où :


Donc, on a bien pour tout :


b)En déduire par récurrence que : (Propriété Pn)

*INITIALLISATION : Pour n=0, on a :

Or
Donc est vraie.

*HÉRÉDITÉ : Démontrons que est héréditaire.
Supposons vraie, càd :
Démontrons que est également vraie, càd :

On vient de démontré que :


Or, selon notre hypothèse de récurrence, on a :

Donc, on obtient par encadrements :


D'où :
Ce qui traduit que est vérifiée.


CONCLUSION : La propriété est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc, pour tout , on a bien :




c)Déduire de ce qui précède que (Un) converge, et determiner sa limite.

On vient de démontrer que :
Or tu as démontré précédemment que
D'où on déduit l'encadrement suivant :



Or, la suite est une suite géométrique de premier terme 3, et de raison comprise entre -1 et 1, donc elle converge vers 0. On a donc :



d'où :



Voili, voilou, j'espère avoir pu t'aider . Si tu as la moindre question, n'hésite pas.

À + .